2014届天津市高三第二次六校联考

数 学 理 科 试 卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷1至2页，第II卷3至4页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并认真核对答题卡上的姓名、考号与本人姓名、考号是否一致。祝各位考生考试顺利！第I卷

注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：·
表示底面积，
表示底面的高·如果事件
、
互斥，那么 柱体体积
，
． 锥体体积
．

一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．
是虚数单位，复数
=

A．i B．
C．1 D．

2.设实数
、
满足
则
为

A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值

C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值

3.设等比数列
中，前n项和为
,已知
，则

A．
B．
C．
D．

4.已知函数
则函数
的零点为

A．
和1 B．
和0 C．
D．

5.给出下列三个结论：

（1）若命题
为假命题，命题
为假命题，则命题“
”为假命题；

（2）命题“若
，则
或
”的否命题为“若
，则
或
”；

（3）命题“
”的否定是“
”.则以上结论正确的个数为

A．
B．
C．
D．

6.函数
的最小正周期是
，若其图象向右平移
个单位后得到的函数为奇函数，则函数
的图象

A．关于点
对称 B．关于直线
对称

C．关于点
对称 D．关于直线
对称

7.已知向量
，
，且
，若实数
满足不等式
，则实数
的取值范围为

A．[－3,3] B．
C．
D．

8.设
,
分别是双曲线
的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点
,使
,
为坐标原点,且
,则该双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

第II卷

注意事项：答卷前将密封线内的项目填写清楚。本卷共12小题，共110分。

二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．

（第9题） （第10题） （第12题）

10.某几何体的三视图如图，则它的体积是________．

11.若
展开式的常数项为60，则常数
的值为 .

12.如图，已知
和
是圆的两条弦，过点
作圆的切线与
的延长线相交于
，过点
作
的平行线与圆交于点
,与
相交于点
,
,
,
,则线段
的长为 ．

13.两曲线参数方程分别为

，
，
、
为参数，其交点坐标为 ．

14.函数
和函数

，若存在
使得
成立，则实数
的取值范围是 .

三. 解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分13分）已知函数

.

（Ⅰ）求函数
的周期；（Ⅱ）若
，求函数
的值域；

（Ⅲ）如果△
的三边
、
、
满足
，且边
所对的角为
，试求
的范围．

16．（本小题满分13分）

一个袋中装有
个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为
.

（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球,有放回的抽取2次,求取出的两个球编号之和为6的概率；

（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取
个球，有放回的抽取3次，求恰有
次抽到
号球的概率；

（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取
个球，记球的最大编号为
，求随机变量
的分布列及期望.

17．（本小题满分13分）

如图，直三棱柱
中,
，
，
，
,点
在线段
上．

（Ⅰ）证明
；

（Ⅱ）若
是
中点，证明
∥平面
；

（Ⅲ）当
时，求二面角
的余弦值．

18．（本小题满分13分）

设椭圆
的左、右焦点分别为

，椭圆的离心率为
,连接椭圆的四个顶点得到的菱

形面积为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过右焦点
作斜率为
的直线
与椭圆
交
两点，在
轴上是否存在点
使得以
为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出
的取值范围，如果不存在，说明理由．

19．（本小题满分14分）

已知函数
．

（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求
的极值；

（Ⅲ）若函数
的图象与函数
的图象在区间
上有公共点，求实数
的取值范围．

20．（本小题满分14分）

已知数列
中，
，
且

．
为数列
的前
项和，且

．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项的和
；

（Ⅲ）证明对一切
，有
．

2014届第二次六校联考（2014–01）

数学理科试卷答案

一．选择题：每小题5分，共40分。

1.D 2.B 3. A 4.D 5.C 6.B 7.A 8.A

二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.600 10. 8－ 11. 4 12.
13.
14.

三. 解答题：

15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）

=

函数
的周期为
　　　　　　　　　　

4分

（Ⅱ）

，

即
的值域为
.

8分

（Ⅲ）
，

.

1３分

16． （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为
，

则两次取球的编号的一切可能结果
有
种，

其中和为
的结果有
，共
种，

则所求概率为
. ………………3分

（Ⅱ）每次从袋中随机抽取
个球,抽到编号为
的球的概率
.

所以，
次抽取中，恰有
次抽到6号球的概率为

. 　　　　　 ………………8分

（Ⅲ）随机变量
所有可能的取值为
.

，

，

，

.

所以，随机变量
的分布列为:

























　　　　　　　　　　　……………13分

17．（本小题满分13分）

证明：（Ⅰ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．则
(3, 0, 0)，

(0, 4, 0)，
(0, 4, 4)，
(3, 0, 4)，
(0, 4, 4)．

所以
…………４分

（Ⅱ）解法一：

设平面B1 CD的法向量为
，

由

且
，

令x = 4得
，

所以

又
所以 AC1∥平面B1CD；

解法二：证明：连结BC1，交B1C于E，DE．

因为 直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，

所以侧面B B1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，

所以 DE// AC1．

因为 DE
平面B1CD， AC1
平面B1CD，

所以 AC1∥平面B1CD． 　　　　　　　　　　　　　　 ……………８分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BC，

设D (a, b, 0)（
，
），

因为 点D在线段AB上，且
， 即
．

所以
，
，
．

所以
，
．

平面BCD的法向量为
．

设平面B1 CD的法向量为
，

由
，
， 得
，

所以
，
，
．

设二面角
的大小为
，

所以
．

所以 二面角
的余弦值为
． ………………………1３分

18．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）椭圆的离心率为
，

又由连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为
可得

， 所求椭圆方程为
. 　……… 6分

（Ⅱ）由
,
：

整理得

设
，

则
，

=

由于菱形对角线垂直，则

得

当
时，上式恒成立.又P、M、N三点不共线，所以

当
时，由上式可得
， 解得
且

故存在满足题意的P, 当
时，
.

当
时，
的取值范围是
且
. 　 ……………… 13分

19．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
，
且
．

又
，

．

在点
处的切线方程为：
，

即
． 　　　 ……………………… 4分

（Ⅱ）
的定义域为
，
，

令
得
．

当
时，
，
是增函数；

当
时，
，
是减函数；

在
处取得极大值，即
．　　　……… 8分

（Ⅲ）（i）当
，即
时，

由（Ⅱ）知
在
上是增函数，在
上是减函数，

当
时，
取得最大值，即
．

又当
时，
，

当
时，
，当
时，
，

所以，
的图像与
的图像在
上有公共点，

等价于
，解得
，

又因为
，所以
．

（ii）当
，即
时，
在
上是增函数，

在
上的最大值为
，

原问题等价于
，解得
，

又
无解

综上，
的取值范围是
． 　　 ……………… 14分

20．（本小题满分14分）

解：（I）由已知
得
，

，
，

由题意
，即
，

当n为奇数时，
；当n为偶数时，
.

所以
.　　　　　　　　　　　 …………4分

（Ⅱ）解法一：

由已知，对
有
，

两边同除以
，得
，

即
，

于是，
=
=
，

即
，
，所以
=
，

，
，又
时也成立，故
，
.

所以
，
………8分

解法二：也可以归纳、猜想得出
，然后用数学归纳法证明．

（Ⅲ）当
，有
，

所以
时，有

=

.

当
时，