2013--2014静安区第一学期期末教学质量检测

高三年级 数学（文科）试卷 2014、1

填空题

已知集合A={（x,y)|x+y-1=0},B={(x,y)|y=x2 _ 1},则A
B=

函数y=
的定义域是

当x>0时，函数y=(a-8)x的值域恒大于1，则实数a的取值范围是

关于未知数x的实系数方程x2-bx+c=0的一个根是1+3i（期中i是虚数单位），写出一个一元二次方程为

方程
的解为

不等式2x2+x-1>0的解集为

若
（其中a、b为有理数），则a+b=

排一张4 独唱和4个合唱的节目表，则合唱不在排头且任何两个合唱不相邻的概率是

（结果用最简分数表示）

设抛物线y2=mx的准线与直线x=1之间的距离为3 ，则该抛物线的方程为

椭圆C的焦点在x轴上，焦距为2，直线n:x-y-1=0与椭圆C交于A、B两点，F1是左焦点，且F1A┴F1B，则椭圆C的标准方程是

已知数列{an}(n
)的公差为3，从{an}中取出部分项（不改变顺序）a1,a4,a10,…组成等比数列，则该等比数列的公比是

若x>0,y>0,且y=
,则x+y的最小值为

设与圆（x-1)2+(y-1)2=1相切的直线n:经过两点A（a,0),B(0,b),其中a>2,b>2,O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为

选择题

设a,b
R,i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+
为纯虚数”的 （ ）

充要条件

充分不必要条件

必要不充分条件

既不充分也不必要条件

已知命题a:如果x<3,那么x<5;命题b:如果x
3,那么x
5;命题c:如果x
5,那么x
3。关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是 （ ）

①命题a是命题b的否命题，且命题c是命题b逆命题

②命题a是命题b的逆命题，且命题c是命题b的否命题

③命题b是命题a的否命题，且命题c是命题a的逆否命题

A、①③ B、② C、②③ D、①②③

17、已知函数f(x)=-x2+4x,x
[m,5]的值域是[-5,4],则实数m的取值范围是 （ ）

A、（-
，-1）； B（-1,2]

C、[-1,2] D、[2,5)

已知三个正实数a、b、c,则下列三个数
（ ）

都大于2； B、都小于2

C、至少有一个小于2； D、至少有一个不小于2

解答题（本大题满分74分）

（本题满分12分）本题共两个小题，第一小题满分7分，第二小题满分5分；

《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=
（弧×矢+矢2），弧田（如图），由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差。

按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差。现有圆心角为
，弦长等于9米的弧田

（1）计算弧田的实际面积；

（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）

（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分8分；

求证：

（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分5分，第二小题满分9分；

已知双曲线x2-y2=2

若直线n的斜率为2 ，直线n与双曲线相交于A、B两点，线段AB的中点为P，求点P的坐标（x,y)满足的方程（不要求写出变量的取值范围）；

过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为
的直线m交双曲线于M、N两点，期中
，F2是双曲线的右焦点，求△F2MN的面积S关于倾斜角
的表达式。

（本题满分16分）本题共有3个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分6分。

设无穷数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn(
),且3tSn-(2t+3)Sn-1（
，n
2)(t是与n无关的正实数）

（1）求证：数列{an}（
）为等比数列；

（2)记数列{an}的公比为f(t),数列{bn}满足b1=1,bn=f(
)（
，n
2),设Cn=b2n-1b2n-b2nb2n+1,求数列.

（3）若（2）中数列{Cn}的前n项和Tn当
时不等式
恒成立，求实数a的取值范围。

（本题满分18分）本题共有3个小题，第一小题满分4分，第二小题满分5分，第三小题满分9分。

已知函数
是奇函数，（其中a>1)

求实数m的值；

讨论函数f(x)的增减性；

当x
时，f(x)的值域是（1，
），求n与a的值。

2013学年第一学期静安文科数学试卷解答与评分标准

?1．
； 2．（文）
； 3．

4．
； 5．（文）
；

6．（文）

7．169； 8．（文）2； 9．（文）

10．
或
. 11．（文）
； 12．（文）2；

13．（文）当
，
时，
的最小值为18.

14．（文）

15．（文）C；16．A． 17． C 18．D

19解：(1) 扇形半径
，……………………… 2分

扇形面积等于
……………………… 5分

弧田面积=
（m2）……………………… 7分

（2）圆心到弦的距离等于
，所以矢长为
.按照上述弧田面积经验公式计算得

（弦(矢+矢2）=
.………………………10分

平方米……………………… 12分

?按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.

20（理）（1）解法1：
(
=
=
………………3分

因为
、
是不全为零的实数，所以
，即
(
。……………………… 6分

解法2：当
时，

；……………………… 2分

当
时，作差：

；

又因为
、
是不全为零的实数，所以当
时，
(
。

综上，
(
。………………………6分

（2）证明：当
时，取得等号3。……………………… 7分

作差比较：

?

>0

所以，
?……………………… 14分

（文）证明：（1）
……………………… 3分

?
……………………… 6分

?（2）由（1）得

（
）……………………8分

?可得

………10分

?
……………………… 12分

?即
.

?……………………… 14分

21（理）（1）设点
在双曲线上，由题意得：
。

由双曲线的性质，得
。…………… 1分

（i）若
，则当
时，
有最小值。最小值
，所以
。…………… 3分

（ii）若
，则当
时，
有最小值，此时
，解得
。…………… 6分

（2）
，
，直线
与
轴垂直时，
，此时，△
的面积
=
.……………………… 7分

直线
与
轴不垂直时，直线
方程为
，……………………… 8分

设
，

解法1：将
代入双曲线方程，整理得：
，即

……………………… 10分

所以，
……………………… 11分

=
.……………14分

?解法2：将
代入双曲线方程，整理得：

，……………………… 10分

，
，……………………… 11分

?

点
到直线
距离
，

?△
的面积

?=
.……………14分

?21文：（1）解法1：设直线
方程为
，

代入双曲线方程得：
，…2分

由
得
.设
、
两点坐标分别为
、
，则有
；又由韦达定理知：
，…4分

?所以
，即得点
的坐标
所满足的方程
.…………5分

注：
或
，点
的轨迹为两条不包括端点的射线.

?解法2：设
、
两点坐标分别为
、
，则有
，
，两式相减得：
（*）.……2分

又因为直线
的斜率为2，所以
，再由线段
中点
的坐标
，得

.……4分

代入（*）式即得点
的坐标
所满足的方程
.………………5分

（2）
，
，直线
与
轴垂直时，
，此时，△
的面积
=
.……………………… 6分

直线
与
轴不垂直时，直线
方程为
，……………………… 7分

设
，

解法1：将
代入双曲线，整理得：
，即

……………………… 9分

所以，
……………………… 10分

?

=
.……………………… 13分

?所以，
.

?……………………… 14分

解法2：参见理科解法2。

22（1）由已知，有
，

当
时，
；………………………2分

?当
时，有
，

两式相减，得
，即
，

综上，
，故数列
是公比为
的等比数列；………… 4分

（2）由（1）知，
，则
，

于是数列
是公差
的等差数列，即
，…………………… 7分

?

则

=
……………………10分

（3）（理）由
解得：
。……………………… 12分

……………………… 14分

，当
时，
，函数
的值域为
。

?

……………………… 16分

（3）（文）不等式
恒成立，即
恒成立，又
在
上递减，则
．……………………… 14分

……………………… 16分

23（理）（1）
转化为求函数
在
上的值域，

?该函数在
上递增、在
上递减，所以
的最小值5，最大值9。所以
的取值范围为

。……………………… 4分

（2）
的定义域为
，……………………… 5分

?定义域关于原点对称，又
，
，所以函数
为奇函数。……………………… 6分

下面讨论在
上函数的增减性.

任取
、

，设

，令
，则
，
，所以

因为
，
，

，所以

.……………………… 7分

又当
时，
是减函数，所以
.由定义知在
上函数是减函数.……………………… 8分

又因为函数
是奇函数，所以在
上函数也是减函数.…………………… 9分

（3）
；…………………… 10分

因为
，
，所以
，
。…… 11分

?设
，
时，则
，……… 12分

且
，……… 13分

?由二项式定理
，…………………… 14分

所以
，

从而
。

…………………… 18分

23（文）：（1）
……………………… 4分

（2）由（1）
，定义域为
.………………………5分

讨论在
上函数的单调性.

任取
、

，设

，令
，则
，
，所以

因为
，
，

，所以
，
，

所以
.……………………… 7分

?又当
时，
是减函数，所以
.由定义知在
上函数是增函数.……………………… 8分

又因为函数
是奇函数，所以在
上函数也是增函数.…………………… 9分

（3）当
时，要使
的值域是
，则
，所以
，即
，……………………… 11分

而
，上式化为
，又
，所以当
时，
；当
时，
；……………………… 13分

因而，欲使
的值域是
，必须
，所以对上述不等式，当且仅当
时成立，所以
解得
，
.?……………………… 18分