2013年高2014届成都高新区10月统一检测

数学（理）

（考试时间：10月10日下午2：00—4：00 总分：150分）

第Ⅰ卷（选择题，共 50 分）

一．选择题：本大题共
小题，每小题
分，满分
分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合
，集合
，则

A.
B.
C.
D.

2．复数
等于

A． B．
C．
D．

3．已知命题p： ?x
，
>0，则

A．非p：?x
，
B．非p：?x
，

C．非p：?x
，
D．非p：?x
，

4．设
，则函数
的零点位于区间

A．(0 ,1) 　B．(-1, 0) 　 C．(1, 2) 　 　 D．(2 ,3)

5. 设
，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是

A．若
，
，则
B．若
，
，则

C．
，
，则
D．若
，
，则

6．设等差数列{an}的前n项和为
,若
，
, 则当
取最大值等于

A．4 B．5 C．6 D．7

7．已知函数
，则不等式
的解集为

A .
B.
C .
D.

8．设
,二次函数
的图象为下列之一，则的值为

A．.  B． C．1 D．

9． 函数
是定义域为的函数，对任意实数都有
成立．若当
时，不等式
成立，设
，
，
，则，
，的大小关系是

A．
B．
C．
D．

10．已知
是定义域为的奇函数，
,
的导函数
的图象如图所示， 若两正数
满足
，则
的取值范围是

A．
B．

C．
D．

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数学（理）

（考试时间：10月10日下午2：00—4：00 总分：150分）

第Ⅱ卷（非选择题，共 100 分）

二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）

11.函数
的定义域是 ___________ ;

12.程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是_________;

13．中央电视台1套连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求 最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，

则不同的播放方式有 _______ 种 （用数字作答）

14.
在
处有极大值，则常数的值为________

15.下面关于
的判断：

与
的图象关于直线
对称；

若
为偶函数，且
，则
的图象关于直线
对称；

设函数
，且
，
，
，若
，

则

函数
，
，
，
，存在
，
，

使得

其中正确的判断是____ _____（把你认为正确的判断都填上）

三．解答题：本大题共
小题，共
分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（本题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面ABCD是正方形，侧棱
底面ABCD，
，E是PC的中点．

（Ⅰ）证明
平面EDB；

（Ⅱ）求EB与底面ABCD所成的角的正切值．

17.（本题满分12分）

一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个． 求：

（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率；

（Ⅱ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，取球次数最多不超过4次，求取球次数
的概率分布列及期望．

18.（本题满分12分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）求函数
的最小值和最小正周期；

（Ⅱ）设
的内角、、
的对边分别为、
、，满足
，
且
，求、
的值.

19．(本题满分12分)

已知

且
),设
…
(
)是首项为4，公差为2的等差数列．

(Ⅰ)设a为常数，求证：{an}成等比数列；

(Ⅱ)若

的前n项和是
，当
时，求
.

20．（本题满分13分）

定义在上的函数

，当
时，
，且对任意的
,有
，

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：对任意的
，恒有
；

（Ⅲ）若
，求的取值范围。

21. （本题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）若
试确定函数
的单调区间；

（Ⅱ）若
且对于任意
恒成立，试确定实数
的取值范围；

（Ⅲ）设函数
求证：
…
.

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数学（理）参考答案及评分标准

（考试时间：10月10日下午2：00—4：00 总分：150分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。

1-----5：BDCAB, 6----10：BADAC

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）

11.
+∞） 12. 31 13. 36 14. 6 15.①②④

三、解答题

16.解：（Ⅰ）令AC、BD交于点O，连接OE,∵O是AC中点，又E是PC中点

∴ OE∥AP ………3分

又OE面BDE，AP面BDE ………5分

∴AP∥面BDE ………6分

（Ⅱ）令F是CD中点，又E是PC中点，连结EF，BF

∴EF∥PD，又PD⊥面ABCD

∴EF⊥面ABCD ………8分

∴∠EBF为面BE与面ABCD所成的角。

令PD=CD=2a

则CD=EF=a, BF=
………10分

在Rt⊿BEF中，

故BE与面ABCD所成角的正切是
。 ………12分

17. 解：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率
…3分

（Ⅱ）
的可能取值为1，2，3，4， …. 4分

，
，

，
． …. 8分

的概率分布列为

 1

2

3

4

















…10分

E
=1×
＋2×
＋3×
＋4×
=
． ……12分

18.解　（Ⅰ）
……3分

则
的最小值是
， 最小正周期是
； ……6分

（Ⅱ）
，则
， ……7分

,
,所以
，

所以
，
……9分

因为
，所以由正弦定理得
……10分

由余弦定理得
，即
……11分

由①②解得：
，
……12分

19．(Ⅰ)证明　f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2， …… 2分

即logaan＝2n＋2，可得an＝a2n＋2.

∴＝＝＝a2 (n≥2)为定值 ……4分

∴{an}为以a2为公比的等比数列 ……5分

(Ⅱ)解　bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2＝(2n＋2)a2n＋2

当a＝时，bn＝(2n＋2)()2n＋2＝(n＋1)2n＋2. ． ……7分

Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n＋1)·2n＋2，①

2Sn＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n·2n＋2＋(n＋1)·2n＋3，②

－②，得

－Sn＝2·23＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)·2n＋3 …… 9分

＝16＋－(n＋1)·2n＋3

＝16＋2n＋3－24－n·2n＋3－2n＋3＝－n·2n＋3.

∴Sn＝n·2n＋3 ……12分

20.解：（Ⅰ）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1……2分

（Ⅱ）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴
……4分

由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0

∴
又x=0时，f(0)=1>0 ……6分

∴ 对任意x∈R，f(x)>0 ……7分

(Ⅲ)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0……8分

∴

∴ f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在R上是增函数 ……10分

f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x) 又1=f(0)，f(x)在R上递增

∴ 由f(3x-x2)>f(0)得：x-x2>0 ∴ 0

21.解：（Ⅰ）由
得
，所以
．

由
得
，故
的单调递增区间是
， ……3分

由
得
，故
的单调递减区间是
． ……4分

（Ⅱ）由
可知
是偶函数．

于是
对任意
成立等价于
对任意
成立． ……5分

由
得
．

①当
时，
．此时
在
上单调递增． 故
，符合题意． ……6分

②当
时，
．当变化时
的变化情况如下表：





















单调递减

极小值

单调递增



由此可得，在
上，
． ……8分

依题意，
，又
．

综合①，②得，实数
的取值范围是
． ……9分

(Ⅲ)
， ……10分

，

，

……12分

得，

故
． ……14分