2013年高2014届成都高新区10月统一检测

数学（文）

（考试时间：10月10日下午2：00—4：00 总分：150分）

第Ⅰ卷（选择题，共 50 分）

一．选择题：本大题共
小题，每小题
分，满分
分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合
，集合
，则

A.
B.
C.
D.

2．复数
等于

A． B．
C．
D．

3．已知命题p： ?x
，
>0，则

A．非p：?x
，
B．非p：?x
，

C．非p：?x
，
D．非p：?x
，

4．设
，则函数
的零点位于区间

A．(0 ,1) 　B． (-1, 0) 　 C．(1, 2) 　 　 D．(2 ,3)

5. 设
，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是

A．若
，
，则
B．若
，
，则

C．
，
，则
D．若
，
，则

6．设等差数列{an}的前n项和为
,若
，
, 则当
取最大值等于

A．4 B．5 C．6 D．7

7．已知
,若
，则x的值是

A． B．1或

C．1，或± D．1

8．设
,二次函数
的图象为下列之一，则的值为

A．. B． C．1 D．

9．偶函数
,在
上单调递增，则
)与
的

大小关系是

A.
　　B.

C.
　　D.

10．定义在[0，1]上的函数
满足
，且当
时，
等于

A．
B．
C．
D．

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数学（文）

（考试时间：10月10日下午2：00—4：00 总分：150分）

第Ⅱ卷（非选择题，共 100 分）

二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）

11.函数y=
的定义域是 ___________ ;

12.程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是_________;

13.设
,
,则
的值是_________;

14.设
，则函数
的单调递增区间是________;

15.下列几个命题：

①方程
有一个正实根，一个负实根，则
；

②函数
是偶函数，但不是奇函数；

③设函数
定义域为R，则函数
与
的图象关于轴对称；

④一条曲线
和直线
的公共点个数是，则的值不可能是．其中正确的有_______________.

三．解答题：本大题共
小题，共
分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（本题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面ABCD是正方形，侧棱
底面ABCD，
，E是PC的中点．

（Ⅰ）证明
平面EDB；

（Ⅱ）求EB与底面ABCD所成的角的正切值．

17．(本题满分12分)

将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：

（Ⅰ）两数之和为5的概率；

（Ⅱ）两数中至少有一个为奇数的概率.

18.(本题满分12分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）求函数
的最小值和最小正周期；

（Ⅱ）设
的内角、、
的对边分别为、
、，满足
，
且
，求、
的值.

19.(本题满分12分)

已知数列
的前项和为
，且向量
，
共线．

(Ⅰ)求证：数列
是等差数列；

(Ⅱ)求数列
的前项和
.

20．（本题满分13分）

定义在上的函数

当
时，
，且对任意的
有
.

(Ⅰ) 求证：
；

（Ⅱ）求证：对任意的
，恒有
；

（Ⅲ）证明：
是上的增函数.

21.(本题满分14分)

已知函数

（Ⅰ）若
试确定函数
的单调区间；

（Ⅱ）若
，且对于任意
，
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）令
若至少存在一个实数
，使
成立，

求实数
的取值范围。

2013年高2014届成都高新区10月统一检测

数学（文）参考答案及评分标准

（考试时间：10月10日下午2：00—4：00 总分：150分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。

1-----5：BDCAB, 6----10：BADDC

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）

11.
+∞） 12. 31 13.
14 . （0，e） 15.①④

三、解答题:

16. 解：（Ⅰ）令AC、BD交于点O，连接OE,∵O是AC中点，又E是PC中点∴ OE∥AP ……3分

又OE面BDE，AP面BDE ……5分

∴AP∥面BDE ………6分

（Ⅱ）令F是CD中点，又E是PC中点，连结EF，BF

∴EF∥PD，又PD⊥面ABCD

∴EF⊥面ABCD ……8分

∴∠EBF为面BE与面ABCD所成的角。

令PD=CD=2a

则CD=EF=a, BF=
……10分

在Rt⊿BEF中，

故BE与面ABCD所成角的正切是
。 …12分

17. 解:将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件．

(Ⅰ)记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件，所以

P(A)＝＝.

答　两数之和为5的概率为. ……6分

(Ⅱ)记“两数中至少有一个为奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，所以P(B)＝1－＝.

答　两数中至少有一个为奇数的概率为. …… 12分

18.解:（Ⅰ）
……3分

则
的最小值是
， 最小正周期是
……6分

（Ⅱ）
，则
……7分

,
,所以
，

所以
，
， ……9分

因为
，所以由正弦定理得
……10分

由余弦定理得
，即
……11分

由①②解得：
，
……12分

19．(Ⅰ)证明　∵a＝(n，Sn)，b＝(4，n＋3)共线，

∴n(n＋3)－4Sn＝0，∴Sn＝ …… 3分

∴a1＝S1＝1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝， ……5分

又a1＝1满足此式，∴an＝ ……6分

∴an＋1－an＝为常数，

∴数列{an}为首项为1，公差为的等差数列 ……7分

(Ⅱ)解　∵＝＝2， ……9分

∴Tn＝＋＋…＋.

＝2＋2＋…＋2＝ …… 12分

20. 解：（Ⅰ）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1 ……3分

（Ⅱ）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴
……4分

由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ……6分

∴
又x=0时，f(0)=1>0

∴ 对任意x∈R，f(x)>0 ……8分

(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 ……10分

∴

∴ f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在R上是增函数 ……13分

21.解：（Ⅰ）由
得
，所以
．

由
得
，故
的单调递增区间是
， ……3分

由
得
，故
的单调递减区间是
． ……4分

（Ⅱ）由
得
． ……5分

①当
时，
．此时
在
上单调递增． 故
，符合题意． ……7分

②当
时，
．当变化时
的变化情况如下表：





















单调递减

极小值

单调递增



由此可得，在
上，
． ……9分

依题意，
，又
．

综合①，②得，实数
的取值范围是
． ……10分

（Ⅲ）由于存在
，使
，则

令
，则
……12分

当
时，
（仅当
时取等号）

在
上单调递增，
因此
． ……14分