静安区2013学年高三年级第一学期期末

数学理试卷

（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2014.1

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知集合
，
，则
.

2．（理）已知
，
，则
的值是 .

3．当
时，函数
的值恒大于1，则实数
的取值范围是 .

4．关于未知数
的实系数一元二次方程
的一个根是
（其中
为虚数单位），写出一个一元二次方程为 .

5．（理）某班有38人，现需要随机抽取5人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有 种. （结果用数值表示）

6．（理）不等式
的解集是 .

7．若
（其中
、
为有理数），则
.

8．（理）已知方程
，则当
时，用列举法表示方程的解的集合是 .

9．（理）如图，平面内有三个向量
、
、
，其中
与
的夹角为120°，
与
的夹角为30°，且|
|＝|
|＝2，|
|＝
，若
＝λ
+μ
（λ、μ∈R），则λ+μ的值为 .

10．设某抛物线
的准线与直线
之间的距离为3，则该抛物线的方程为 .

11．（理）已知
，且
，则
的值用
表示为 .

12．（理）已知椭圆
，过椭圆
上一点
作倾斜角互补的两条直线
、
，分别交椭圆
于
、
两点.则直线
的斜率为 .

13．（理）若圆
与圆
的两个交点始终为圆
的直径两个端点，则动点
的轨迹方程为 .

14．（理）已知不等式
的解集为
，则
，且
的值为 .

?二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．（理）“
”是“直线
与直线
互相垂直”的 ( )

A．充要条件；　　　　　　　　B．充分不必要条件；

C．必要不充分条件；　　　　　D．既不充分也不必要条件.

16．已知命题
：如果
，那么
；命题
：如果
，那么
；命题
：如果
，那么
.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是 ( )

① 命题
是命题
的否命题，且命题
是命题
的逆命题.

② 命题
是命题
的逆命题，且命题
是命题
的否命题.

③ 命题
是命题
的否命题，且命题
是命题
的逆否命题.

A．①③； B．②； C．②③ D．①②③

17．已知函数
的值域是
，则实数
的取值范围是 ( )

A．
； B．
； C．
； D．
.

18．（理）已知函数
是定义在实数集
上的以2为周期的偶函数，当
时，
.若直线
与函数
的图像在
内恰有两个不同的公共点，则实数
的值是( )

A．
或
； B．0；C．0或
； D．0或
.

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分5分.

《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=
（弦(矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.

按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为
，弦长等于9米的弧田.

（1）计算弧田的实际面积；

（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）

20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

（理）（1）设
、
是不全为零的实数，试比较
与
的大小；

（2）设
为正数，且
，求证：
.

21．（理）(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知双曲线
（其中
）.

（1）若定点
到双曲线上的点的最近距离为
，求
的值；

（2）若过双曲线的左焦点
，作倾斜角为
的直线
交双曲线于
、
两点，其中
，
是双曲线的右焦点.求△
的面积
.

?

22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

设无穷数列
的首项
，前
项和为
（
），且点
在直线
上（
为与
无关的正实数）．

（1）求证：数列
（
）为等比数列；

（2）记数列
的公比为
，数列
满足
，设
，求数列
的前
项和
；

（3）（理）若（1）中无穷等比数列
（
）的各项和存在，记
，求函数
的值域.

?

23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分.

（理）已知函数
（其中
且
），
是
的反函数.

（1）已知关于
的方程
在区间
上有实数解，求实数
的取值范围；

（2）当
时，讨论函数
的奇偶性和增减性；

（3）设
，其中
.记
，数列
的前
项的和为
（
），

求证：
.

?

?

?

?

?

?

?

2013学年第一学期静安理科数学试卷解答与评分标准

?1．
； 2．（理）
； 3．

4．
； 5． （理）
；　　6．（理）
；

7．169； 8．（理）
； 9．（理）
12；

10．
或
. 11．（理）
；

12．（理）
；　　13．（理）
；

14．（理）
4；

15．（理）B ； 16．A． 17． C 18．D

19解：(1) 扇形半径
，……………………… 2分

扇形面积等于
……………………… 5分

弧田面积=
（m2）……………………… 7分

（2）圆心到弦的距离等于
，所以矢长为
.按照上述弧田面积经验公式计算得

（弦(矢+矢2）=
.………………………10分

平方米……………………… 12分

?按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.

20（理）（1）解法1：
(
=
=
………………3分

因为
、
是不全为零的实数，所以
，即
(
。……………………… 6分

解法2：当
时，

；……………………… 2分

当
时，作差：

；

又因为
、
是不全为零的实数，所以当
时，
(
。

综上，
(
。………………………6分

（2）证明：当
时，取得等号3。……………………… 7分

作差比较：

?

>0

所以，
?……………………… 14分

（文）证明：（1）
……………………… 3分

?
……………………… 6分

?（2）由（1）得

（
）……………………8分

?可得

………10分

?
……………………… 12分

?即
.

?……………………… 14分

21（理）（1）设点
在双曲线上，由题意得：
。

由双曲线的性质，得
。…………… 1分

（i）若
，则当
时，
有最小值。最小值
，所以
。…………… 3分

（ii）若
，则当
时，
有最小值，此时
，解得
。…………… 6分

（2）
，
，直线
与
轴垂直时，
，此时，△
的面积
=
.……………………… 7分

直线
与
轴不垂直时，直线
方程为
，……………………… 8分

设
，

解法1：将
代入双曲线方程，整理得：
，即

……………………… 10分

所以，
……………………… 11分

=
.……………14分

?解法2：将
代入双曲线方程，整理得：

，……………………… 10分

，
，……………………… 11分

?

点
到直线
距离
，

?△
的面积

?=
.……………14分

?21文：（1）解法1：设直线
方程为
，

代入双曲线方程得：
，…2分

由
得
.设
、
两点坐标分别为
、
，则有
；又由韦达定理知：
，…4分

?所以
，即得点
的坐标
所满足的方程
.…………5分

注：
或
，点
的轨迹为两条不包括端点的射线.

?解法2：设
、
两点坐标分别为
、
，则有
，
，两式相减得：
（*）.……2分

又因为直线
的斜率为2，所以
，再由线段
中点
的坐标
，得

.……4分

代入（*）式即得点
的坐标
所满足的方程
.………………5分

（2）
，
，直线
与
轴垂直时，
，此时，△
的面积
=
.……………………… 6分

直线
与
轴不垂直时，直线
方程为
，……………………… 7分

设
，

解法1：将
代入双曲线，整理得：
，即

……………………… 9分

所以，
……………………… 10分

?

=
.……………………… 13分

?所以，
.

?……………………… 14分

解法2：参见理科解法2。

22（1）由已知，有
，

当
时，
；………………………2分

?当
时，有
，

两式相减，得
，即
，

综上，
，故数列
是公比为
的等比数列；………… 4分

（2）由（1）知，
，则
，

于是数列
是公差
的等差数列，即
，…………………… 7分

?

则

=
……………………10分

（3）（理）由
解得：
。……………………… 12分

……………………… 14分

，当
时，
，函数
的值域为
。

?

……………………… 16分

（3）（文）不等式
恒成立，即
恒成立，又
在
上递减，则
．……………………… 14分

……………………… 16分

23（理）（1）
转化为求函数
在
上的值域，

?该函数在
上递增、在
上递减，所以
的最小值5，最大值9。所以
的取值范围为

。……………………… 4分

（2）
的定义域为
，……………………… 5分

?定义域关于原点对称，又
，
，所以函数
为奇函数。……………………… 6分

下面讨论在
上函数的增减性.

任取
、

，设

，令
，则
，
，所以

因为
，
，

，所以

.……………………… 7分

又当
时，
是减函数，所以
.由定义知在
上函数是减函数.……………………… 8分

又因为函数
是奇函数，所以在
上函数也是减函数.…………………… 9分

（3）
；…………………… 10分

因为
，
，所以
，
。…… 11分

?设
，
时，则
，……… 12分

且
，……… 13分

?由二项式定理
，…………………… 14分

所以
，

从而
。

…………………… 18分

23（文）：（1）
……………………… 4分

（2）由（1）
，定义域为
.………………………5分

讨论在
上函数的单调性.

任取
、

，设

，令
，则
，
，所以

因为
，
，

，所以
，
，

所以
.……………………… 7分

?又当
时，
是减函数，所以
.由定义知在
上函数是增函数.……………………… 8分

又因为函数
是奇函数，所以在
上函数也是增函数.…………………… 9分

（3）当
时，要使
的值域是
，则
，所以
，即
，……………………… 11分

而
，上式化为
，又
，所以当
时，
；当
时，
；……………………… 13分

因而，欲使
的值域是
，必须
，所以对上述不等式，当且仅当
时成立，所以
解得
，
.?……………………… 18分