湖北省黄冈中学2013年秋季高三数学（文）期末考试

命题：钱程 审稿:曹燕 校对：肖海东

考试时间：2014年1月20日下午14：30—16：30

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟．

★★★ 祝考试顺利 ★★★

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合
，
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知回归直线的斜率的估计值是
，样本点的中心为
，则回归直线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知向量
，
，且
，则实数
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知数列
的前
项和
，则“
”是“数列
为等差数列”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ）

A．48

B．56

C．64

D．72

6．在如图所示的程序框图中，若输出
，则判断框
内实数
的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

7．已知函数
在
上有两个零点，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．过双曲线
的右顶点
作斜率为
的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为
，若
三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知
，
，
，动点
满足
且
，则点
到点
的距离大于
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．设函数
有两个极值点
，且
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上.

11．在复平面内，复数
对应的点的坐标为___________．

12．统计某学校高三年级某班40名学生的数学期末考试成绩，分数均在40至100之间，得到的频率分布直方图如图所示．则图中
的值为___________．

13．若存在
，使
成立，则实数
的取值范围是___________．

14．已知
是定义在
上以2为周期的偶函数，且当
时，
，则
=___________．

15.已知圆的方程为
，设该圆过点
的最长弦和最短弦分别为
和
，则四边形
的面积为___________．

16.钝角三角形的三边长分别为
，其最大角不超过
，则
的取值范围是___________．

17．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第1层），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．

试问第
层
的点数为___________个；

如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有___________层．

三、解答解：本大题共5个小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

18．设函数
，其中向量
，
，
．

（1）求
的单调递增区间；

（2）在
中，
分别是角
的对边，已知
，
的面积为
，求
的值．

19.设正项等比数列
的前
项和为
，且
，
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，令数列
的前
项和为
．证明：
．

20．已知在梯形
中，
，
，
为
的中点，
为
上靠近点
的三等分点，且
，
，现将梯形沿着
翻折，使得平面

平面
，连接
、
和
，如图所示

求三棱锥
的体积；

在
上是否存在一点
，使得
平面
？如果存在，求
的长；如果不存在，请说明理由．

21．已知函数
，
为常数．（1）若
，且
，求函数
的单调区间；

（2）若
，且对任意

，
，都有
，

求
的取值范围．

22．如图，椭圆
的离心率为
，
轴被曲线
截得的线段长等于
的长半轴长.

（1）求
，
的方程；

（2）设
与
轴的交点为M，过坐标原点O的直线
与
相交于点A,B,直线MA,MB分别与
相交与D,E．

（i）证明：
；

(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是
.问：是否存在直线
,使得
=
?请说明理由．

湖北省黄冈中学2013年秋季高三数学（文）期末考试参考答案（附评分细则）

一、选择题

序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

C

D

C

C

C

B

C

A

D



二、填空题

11．
12．
13．
14．

15．
16．
17．(1)
(2)

1．
，
，
，则

2．样本点的中心一定在回归直线上

3．
，由
得
，解得：

4．两个条件互为充要条件

5．

6．
，令
得

所以实数
的取值范围是

7．令
得
，即
与直线
的图像在
上有两个交点，数形结合可知
的取值范围是

8．直线方程为
，由
解得
，由
解得

由题意可知：
即
得
，所以

9．动点
满足的不等式组为
，画出可行域可知
的运动区域为以
为中心且边长为
的正方形，而点
到点
的距离小于或等于
的区域是以
为圆心且半径为
的圆以及圆的内部，所以

10．
的定义域为
，求导得
，因为
有两个极值点
，

所以
是方程
的两根，又
，且
，所以

又
，所以
，

令

，

所以
在
上为增函数，所以
，所以

11．
，所以该复数对应点的坐标为

12．由
解得

13．只需
成立即可，而

所以
即
解得

14．

15．圆的标准方程为
，过点
的最长弦为过圆心的直径
，最短弦为与圆心
和点
连线垂直的弦，
，而显然
，所以

16．由题意可得
解得

17．观察图形，可以看出，第一层是1个点，其余各层的点数都是6的倍数且倍数比层数少1，所以：（1）第
层的点数为
；

（2）
层六边形点阵的总点数为
=

令
解得
（舍去）或
所以

三、解答题

18．解：

（1）
=
=
+1

令

解得

故
的单调递增区间为

注：若没写
，扣一分

（2）由
得

而
，所以
，所以
得

又
，所以

19．解：

（1）由题意可得
解得

所以

（2）

=

所以
=

因为
，所以

20.

21．解：（1）
， -------------------------------------2分

∵
，令
，得
，或
，------------------------------------3分

∴函数
的单调增区间为
，
． -----------------------------4分

单调减区间为
-----------------------------5分

注：两个单调增区间，错一个扣1分，错两个扣2分

（2）∵
，∴
，

∴
，--------------------------------------------------7分

设
，依题意，
在
上是减函数．--------------------------8分

当
时，
，
，

令
，得：
对
恒成立，

设
，则
，

∵
，∴
，

∴
在
上是增函数，则当
时，
有最大值为
，

∴
．------------------------------------------------------------------------------------11分

当
时，
，
，

令
，得：
，

设
，则
，

∴
在
上是增函数，∴
，

∴
------------------------------------------------------------------------------------13分

综上所述，
------------------------------------------------------------14分

22．解：（1）由题意知
，从而
，又
，解得
。

故
，
的方程分别为
-------------------------4分

（2）（i）由题意知，直线
的斜率存在，设为
，则直线
的方程为
.

由
得
，

设
，则
是上述方程的两个实根，

于是
-------------------------5分

又点
的坐标为
，所以

-------------------------8分

故
，得证

（ii）设直线的斜率为
，则直线的方程为
，由
解得
或
，则点A的坐标为

又直线
的斜率为
，同理可得点B的坐标为
.

于是
----------------------9分

由
得
，

解得
或
，则点
的坐标为
；

又直线的斜率为
，同理可得点
的坐标

于是
----------------------11分

因此
---------------------12分

由题意知，
解得
或
。----------------------13分

又由点
的坐标可知，
，所以

故满足条件的直线
存在，且有两条，其方程分别为
和
。-------------14分