第I卷（选择题）

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一、选择题

1．曲线
在点
处的切线为（ ）

A.
B.
C.
D.

2．设
，
，
，则（ ）

A.
B.
C.
D.

3．设函数
满足
，
，则函数
的图象可以是（ ）

4．已知
是抛物线
的焦点，
、
是该抛物线上的两点，且
，则线段
的中点到
轴的距离为（ ）

A．
B．
C．


D．

5．已知角
的终边过点
，则
( )

A.

B.

C.
D.

6．设函数
，若实数
满足
，则( )

A.
B.

C.
D.

7．设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，有下列四个命题：

① 若
； ② 若
；

③ 若
； ④ 若

其中正确命题的序号是（ ）

A. ①
③ B. ①② C. ③④ D. ②③

8．设函数
的最小值为
，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

9．关于
的不等式
的解集非空的一个必要不充分条件是(　 　)

A．
B．
C．
D．

10．若函数
且
在
上既是奇函数又是增
函数，则
的图象是( )

第II卷（非选择题）

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二、填空题

11．盒中装有形状、大小完全相同的5个小球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中随机取出2个球，则取出的2个球颜色不同的概率为 .

12．在平面直角坐标系
中，椭圆
的中心为原点，焦点
、
在
轴上，离心率为
.过点
的直线
交椭圆
于
、
两点，且
的周长为16，那么椭圆
的方程为 .

13．已知函
数
若
，则
的取值范围是 .

14．在平面直角坐标系
中，已知
，
．若
，
，则实数
的值为__________．

三、解答题

15．如图，在直三棱柱
中，
，
，
是
的中点．

（Ⅰ）求证:
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

16．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量
（单位：千克）与销售价格
（单位：元/千克）满足关系式
，其中
，
为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格
的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

17．已知函数

（1）当a=1时，求曲线在点（3，
）处的切线方程

（2）求函数
的单调递增区间

18．已知以
为首项的数列
满足：

(1)若
，求证：
;

(2)若
，求使
对任意正整数n都成立的
与
.

19．已知
是
的一个极值点.

（Ⅰ） 求
的值；

（Ⅱ） 求函数
的单调递减区间；

（Ⅲ）设
，试问过点
可作多少条直线与曲线
相切？请说明理由.

20．某社区有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.

（1）
设在甲家租一张球台开展活动
小时的收费为
元
，在乙家租一张球台开展活动
小时的收费为
元
.试求
和
.

（2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？

参考答案

【解析】

试题分析：一般地，只要涉及3个及以上的数比较大小，应找一中间量来比较，比如0、1.

由对数的性质知：
，
，
。又
，

所以
.

解答本题目易进入作差比较的误区；其次是易弄错
与
的大小.

考点：对数函数的单调性及对数运算性质，以及比较数的大小的方法.

3．B

【解析】

试题分析：由
知：该函数为奇函数；由
知，该函数是周期为2的周期函数，故选B.

考点：函数的奇偶性、周期性及其图象特征.

4．C

【解析】

试题分析：线段
的中点到
轴的距离即线段
的中点的横坐标的绝对值，故只需求线段
的中点的横坐标的绝对值.从而考虑用中点坐标公式.

由已知得：
.设
，则
， 由已知：

.所以线段
的中点到
轴的距离为：
.

考点：抛物线的定义（焦半径公式），中点坐标公式及圆锥曲线中的基
本计算.

5．D

【解析】

试题分析：
=
.

考点：三角函数值的求法.

6．A

【解析】

试题分析：由已知得
，
，∴
；

，
，∴
,

∴
,

∵
，
在
上是单调增函数，∴
.

考点：方程的根与函数的零点.

7．D.

【解析】

试题分析：根据题意若
，则
或
，故①错误；若
，则
，故②正确；若
，则
，又
，所以
，故③正确；若
，则
或
，故④不正确.

考点：线面关系和面面关系.

8．A.

【解析】

试题分析：由题意，当
时，函数
有最小值为
，则当
时，
，即
．

考点：分段函数.

9．B

【解析】

试题分析：
解集非空的,①

,②
时,当
即
时,不等式解集非空,而
时
解集为空集,综上有不等式
的解集非空的一个必要不充分条件是
.

考点：分类讨论数学思想方法,二次不等式的解法.

10．C

【解析】

试题分析：函数
且
为奇函数
对
恒成立，即
对
恒成立
; 函数
且
为增函数

；所以
，所以图象为
.[来源:学科网]

考点：奇函数的定义及应用,函数单调性的判断,对数函数指数函数的性质及图象.

11．

【解析】

试题分析：从5个球中任选2个，共有
种选法.2个球颜色不同，共有
种选法.所以所求概率为
.

考点：古典概型及组合数的计算.

12．

【解析】

试题分析：在椭圆中，
的周长为
，所以
.
，[来源:学_科_网]

所以椭圆的方程为
.

考点：椭
圆的第一定义，离心率及椭圆的方程.

1
3．

【解析】

试题分析：当
时，
显然成立；[来源:学*科*网Z*X*X*K]

当
时，若
，
显然成立，所以只要
时，

成立即可，比较对数与一次函数的增长速度，不存在
使
在
恒成立；

当
时，若
，
显然成立，所以只要
时
，解得
，∴
,

∴
.

考点：不等式，对数不等式的解法.

14．2

【解析】

试题分析：∵
，
，∴
，设
，

可得
…①，又∵
，
，∴
且
…②

将①②联解，可得
，
，
，故答案为：2.

考点：1.平面向量数量积的运算；2.平行向量与共线向量．

15．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明线面平行常用以下两种方法:一是用线面平行的判定定理,二是用面面平行的性质.本题用这两种方法都行；

（Ⅱ）首先应考虑作出平面
截三棱柱所得的截面.作出该截面便很容易得到二面角的平面角即为
.

本题也可用向量解决.

试题解析：（Ⅰ）法一:连结
，交
于
，连结
，则
，从而
平面
.

法二:取
的中点
,连结
,易得平面

,从而
平面
.

（Ⅱ）
的中点
,连结
、
,易得平面
就是平面
,

又
平面
,所以
,所以
就是该二面角的平面角.

.

考点：立体几何中线面平行的证明及二面角的计算.

16．（Ⅰ）
;（Ⅱ）每日所获最大利润为:

【解析】

试题分析：（Ⅰ）题中给出含参数的解析式，都要给一组对应值来求其中的参数.在本题中将
，
代入
即可求出参数
的值；（Ⅱ）要求利润的最大值，就需要列出利润与销售价格间的关系式. 每日所获利润:
.导数法和均值不等式法是求最值的两种基本方法.在本题中用这两种方法均可.

试题解析：（Ⅰ）因为
时
,所以

（Ⅱ）法一、每日所获利润:

由此可得:
在
上单调递增,在

上单调递减.

所以
时,