第I卷（选择题）

一、选择题

1．
（）

（A）
（B）
（C）
（D）

2．已知双曲线

的离心率为
，则
的渐近线方程为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3．设首项为
，公比为
的等比数列
的前
项和为
，则（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4．
为坐标原点，
为抛物线
的焦点，
为
上一点，若
，则
的面积为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

5．已知锐角
的内角
的对边分别为
，
，
，
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

6．已知函数
，若
，则
的取值范围是（ ）

（A）
（B）
(C)
(D)

7．下列函数中，既是偶函数又在区间
上单调递增的函数为（　　）

A．
B．
C．
D．

8．
的值为（　　）

A．
B．
C．
D．

9．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（　　）

A．
B．
C．
D．

10．已知实数
满足
，则目标函数
的最大值为（　　）

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题）

二、填空题

11．已知
是球
的直径
上一点，
，
平面
，
为垂足，
截球
所得截面的面积为
，则球
的表面积为_______。

12．设等比数列
的公比
，则
．

13．直线
是函数
的切线，则实数
．[来源:学_科_网Z_X_X_K]

14．如图，圆
的割线
交圆
于
、
两点，割线
经过圆心.已知
，
，
.则圆
的半径
．

15．在
中，
，
，且
的面积为
，则边
的长为_________.

三、解答题

16．已知函数
（m为常数,e=2.71828…是自然
对数的底数），函数
的最小值为1，其中
是函数f(x)的导数.

（1）求m的值.

（2）判断直线y=e是否为曲线f(x)的切线，若是，试求出切点坐标和函数f(x)的单调区间；若不是，请说明理由.

17．（本小题满分12分）已知等差数列
的前
项和
满足
，
。

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前
项和。

18．已知函数f(x)＝
－
alnx，a∈R．

（Ⅰ）当f(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的φ(a)，

（ⅰ）当a∈(0，＋∞)时，证明：φ(a)≤1；

（ⅱ）当a＞0，b＞0时，证明：φ′(
)≤
≤φ′(
)．

19．（本小题满分12分）

某学校高二年级共有1000名学生，其中男生650人，女生350人，为了调查学生周末的休闲方式，用分层抽样的方法抽查了200名学生.

（1）完成下面的
列联表；

不喜欢运动

喜欢运动

合计



女生

50







男生









合计



100

200



（2）在喜欢运动的女生中调查她们的运动时间， 发现她们的运动时间介于30分钟到90分钟之间，如图是测量结果的频率分布直方图，若从区间段
和
的所有女生中随机抽取两名女生，求她们的运动时间在同一区间段的概率.

20．在如图所示的几何体中,
是边长为2的正三角形. 若
平面
,平面
平面
,
,且

（1）求证：
//平面
;

（2）求证：平面

平面
.

21．已知椭圆C：
＋
＝1（a＞b＞0）的离心率为
，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为
．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有
＝
＋
成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

参考答案

解法二：若
，当
时，
，当
时，
，
，两式对减，得
，故选D.

【学科网考点定位】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式，考查学生的基本运算能力以及转化与化归能力.

4．C；

【解析】易知
，过
点作准线的垂线交于
，可知
，
在线段
上的射影记为
，则
，故
，由勾股定理可知，
，故

【学科网考点定位】本题考查抛物线的定义及其性质，考查学生的数形结合能力以及化归与转化的数学思想.

5．D；

【解析】因为
，且锐角△ABC，故
，故
，解得
.

【学科网考点定位】本题考查二倍角公式以及余弦定理的基本应用，考查学生的基本运算能力以及转化与化归的能力

6．D；

【解析】作出函数图像，
在点（0,0）处的切线为制定参数的标准；当
时，
，
，
，故
；当
时，
，
，由于
上任意一点的切线斜率都要大于
，故
，综上所述，
.

【学科网考点定位】本题考查分段函数、导数的几何意义，考查学生数形结合的能力.

7．C

【解析】

试题分析：A是奇函数，B既不是奇函数，也不是偶函数，所以，A、B都排除；D是二次函数，函数图象的开口向下，在
单调递减，不符合，只有C符合.

考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性以及基本初等函数的图象.

8．D

【解析】

试题分析：利用三角函数的诱导公式求解.

，所以，选D.

考点：三角函数的诱导公式.

9．A

【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体为圆柱，底面积为：
，

侧面积为：
，因此圆柱的表面积为：
[来源:学。科。网Z。X。X。K]

考点：1、空间几何体的三视图；2、空间几何体的表面积.

10．B

【解析】

试题分析：画出不等式组所表示的平面区域，如下图所示：

目标函数变成：
，画出
的图象并平移，当它经过点C时，在y轴上的截距最小，z取得最大值，联立方程组：
，解得B点坐标为
，所以，z的最大值为：
＝5.

考点：1、不等式组的平面区域；2、用线性规划方法求最优解.

11．
；

【解析】过H的截面与球体上下分别交于M、N两点，三角形AMN为直角三角形，因为MH=1，由射影定理可知，AH=
，BH=
，所以球体的半径为
，故表面积

【学科网考点定位】本题考查球体的表面积公式，考查学生的空间想象能力.

12．

【解析】

试题分析：利用
等比数列的前n项和公式和通项公式，得：

＝
.

考点：等比数列的通项公式及前n项和公式.

13．
1

【解析】

试题分析：先对函数求导，即
，由于切线方程为
，所以，

，解得：
，因此，切点为（2，
）或（－2，－
），代入切线方程，可得
＝
1.

考点：函数的导数求法，函数导数的几何意义.

【答案】8

【解析】

试题分析：由切割线定理，得：
，即6×
＝（12－R）（12＋
R），解得R＝8.

考点：切割线定理.

15．

【解析】

试题分析：由三角形面积公式，得：
，解得：
＝1，

由余弦定理，得：
=1＋4－2＝3，所以，BC＝
.

考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理.

16．（1） 1 ;（2）是,（1，e）;单调减区间(0,+∞).[来源:Z+xx+k.Com]

【解析】[来源:学科网ZXXK]

试题分析：（1）求导数，转化为分式不等式，最后根据不等式的基本性质求解即可.（2）利用导数的几何意义，求过（1，e）的切线即可验证.

试题解析：由
，得
，
∞），

=
，

所以2-m=1，解得m=1.

（2）由(1)得
，得
，令h（x
）=
，则
=
，

当
时，
>0，
当
∞）时，
<0,所以h（x）max=h（1）=0.

又因为ex>0,所以可得当
∞）时，
恒成立.故当
∞）时，函数
单调递减.

因为
且
，所以曲线
在（1，e）点出的切线方程为y-e=0（x-1），即y=e.

所以直线y=e是曲线f(x)的切线，切点坐标（1，e），且
在
∞）上单调递减.

考点：1.求导；2.导数的几何意义；3.导数性质的应用.

17．依题意，
，
，故
，所以
，所以
，即
；

（2）
；

【解析】（1）利用等差数列的前n项和公式构造二元一次方程组进行求解；（2）使用裂项法求和.

【学科网考点定位】本题考查等差数列定义以及数列求和的方法，考查学生对定义的理解以及逻辑思维能力.

18．（Ⅰ）φ(a)＝a－alna（a＞0）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用导数分析函数单调性，求最值；（Ⅱ）利用导数分析函数单调性，分类讨论.

试题解析：(Ⅰ) 求导数，得f ′(x)＝
－
＝
（x＞0）．

（1）当a≤0时，f ′(x)＝
＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，无最小值．

（2
）当a＞0时，令f ′(x)＝0，解得x＝a2．

当0＜x＜a2时，f ′(x)＜0，∴f(x)在(0，a2)上是减函数；

当x＞a2时，f ′(x)＞0，∴f(x)在(a2，＋∞)上是增函数．

∴f(x)在x＝a2处取得最小值f(a2)＝a－alna．

故f(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)＝a－alna（a＞0）． 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），知φ(a)＝a－alna（a＞0），

求导数，得φ′(a)＝－lna．

（ⅰ）令φ′(a)＝0，解得a＝1．

当0＜a＜1时，φ′(a)＞0，∴φ(a)在(0，1)上是增函数；

当a＞1时，φ′(a)＜0，∴φ(a)在(1，＋∞)上是减函数．

∴φ(a)在a＝1处取得最大值φ(1)＝1．

故当a∈(0，＋∞)时，总有φ(a)≤1． 10分

（ⅱ）当a＞0，b＞0时，

＝－
＝－ln
， ①

φ′(
)＝－ln(
)≤－ln
， ②

φ′(
)＝－ln(
)≥－ln
＝－ln
， ③

由①②③，得φ′(
)≤
≤φ′(
)． 14分

考点：导数，函数的单调性，最
值.

19．（1）列联表详见解析；（2）
.

【解析】

试题
分析：（1）利用分层抽样填表；（2）利用频率分步直方图求出
内的人数和在
的人数，列出所有的情况，列出概率.

试题解析：（1）根据分层抽样的定义，知抽取男生130人，女生70人， 1分

不喜欢运动

喜欢运动

合计



女生

50

20

70



男生

50

80

130



合计

100

100

200



 3分

（2）由直方图知在
内的人数为4人，设为
.

在
的人数为2人，设
为
. 5分

从这6人中任选2人有AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd

共15种情况 7分

若
时，有
共六种情况． 9分

若
时，有
一种情况． 10分

事件
:“她们在同一区间段”所包含的基本事件个数有
种， 11分

故

答：两名女生的运动时间在同一区间段的概