湖北省黄冈中学2014届高三上学期期末考试

数学(理)试题

考试时间：2014年1月20日下午14：30—16：30

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟．

★★★ 祝考试顺利 ★★★

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.复数
是虚数单位）为纯虚数，则实数
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知
是平面
内的两条直线，则“直线
”是“直线
且直线
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ）

A．48

B．56

C．64

D．72

4.设
的内角
所对的边分别为
，若
，则
的形状为（ ）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

5．如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：

①
；②
；

③
；④
．其中“同簇函数”的是（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．③④

6．已知
是定义在
上以2为周期的偶函数，且当
时，
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

7.双曲线
的一条渐近线与圆
相交于
两点，且
，则此双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知
，
，
，动点
满足
且
，则点
到点
的距离大于
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知数列
的通项
，其前
项和为
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
，
(
,
为自然对数的底数)，若对任意给定的
，在
上总存在两个不同的
（
），使得
成立，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

（一）必考题（11—14题）

11．已知集合
，
，则
=___________．

12．由直线
，
，曲线
及
轴所围图形的面积为___________．

13．已知
，且关于
的方程
有实根，则
与
的夹角的取值范围是___________．

14.如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第1层）， 第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．

（1）试问第
层
的点数为___________个；

（2）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有___________层．

（二）选考题（请考生在15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分）

15．（选修4—1：几何证明选讲）

如图所示，
是圆
的两条切线，
是切点，
是圆
上两点，如果
，
，则
的度数是___________．

16. （选修4—4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，过点
引圆
的两条切线
，切点分别为
，则线段
的长为___________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知函数
，其中
，
，
，
的相邻两条对称轴间的距离大于等于
．

（1）求
的取值范围；

（2）在
中，角
所对的边依次为
，
，当
的值最大时，
，求
的面积．

18.如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为
米，高度为
米．已知流出的水中该杂质的质量分数与
的乘积
成反比，现有制箱材料60平方米．（注：制箱材料必须用完）

（1）求出
满足的关系式；

（2）问当
各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分 数最小（A、B孔的面积忽略不计） ？

19. 如图所示，四边形
为矩形，四边形
为梯形，平面
平面
，

，
．

若
为
中点，求证：
平面
；


求平面
与平面
所成锐二面角的大小．

20．设数列
的首项
，且
，记
．

（1）求
；

（2）证明：
是等比数列；

（3）求数列
的前
项和
．

21．如图，椭圆
的离心率为
，
轴被曲线
截得的线段长等于
的长半轴长.

（1）求
，
的方程；

（2）设
与
轴的交点为M，过坐标原点O的直线
与
相交于点A,B,直线MA,MB分别与
相交与D,E.

（i）证明：
；

(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是
.问：是否存在直线
,使得
=
?请说明理由．



22．已知函数
．

（1）若函数在区间
（其中
）上存在极值，求实数
的取值范围；

（2）如果当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）求证：
．

湖北省黄冈中学2013年秋季高三数学（理）期末考试参考答案（附评分细则）

一、选择题

序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

A

C

A

C

D

B

A

A

A



二、填空题

11．
12．
13．

14．(1)
(2)
15．
16．

8．动点
满足的不等式组为
，画出可行域可知
的运动区域为以
为中心且边长为
的正方形，而点
到点
的距离小于或等于
的区域是以
为圆心且半径为
的圆以及圆的内部，所以

9．

，

所以
，其中

所以

10．易得函数
在
上的值域为

当
时，
，
在
处取得最小值

由题意知，
在
上不单调，所以
，解得

所以对任意给定的
，在
上总存在两个不同的
（
），使得
成立，当且仅当
满足条件
且

因为
，所以
恒成立，由
解得

综上所述，
的取值范围是

14. 观察图形，可以看出，第一层是1个点，其余各层的点数都是6的倍数且倍数比层数少1，所以：（1）第
层的点数为
；

（2）
层六边形点阵的总点数为
=

令
解得
（舍去）或
所以

三、解答题

17．解：

（1）

=
=
----------------------------3分

因为
，所以函数
的周期

由题意可知
，即
，
----------------------------5分

解得
-----------------------------6分

（2）由（1）可知
的最大值为1，所以

因为
，所以
----------------------------7分

而
，所以
，所以
-------------------------9分

而
，所以
① 而
②

联立①②解得：
-------------------------11分

所以
-------------------------12分

18．解：

（1）由题意可得
，即
------------------------6分

注：若没写
，扣两分，少写一个扣1分

（2）因为该杂质的质量分数与
的乘积
成反比，所以当
最大时，该杂质的质量分数最小

由均值不等式得
（当且仅当
时取等号）

所以
，

即
（当且仅当
时取等号）

-----------------------8分

即
，

因为
，所以
，所以

-----------------------10分

所以当且仅当
即
时，
取得最大值18，此时该杂质的质量分数最小

-------------------12分

19．

20．解：

（1）

------------------2分

（2）证明：

因为
，所以

------------------5分

即
，------------------6分

而
，所以
是以
为首项，公比为
的等比数列-----------7分

注：若没写
，扣一分

（3）
，所以
=

所以

--------8分

两式相减得：
--------10分

即
--------12分

21．解：（1）由题意知
，从而
，又
，解得
。

故
，
的方程分别为
-------------------------4分

（2）（i）由题意知，直线
的斜率存在，设为
，则直线
的方程为
.

由
得
，

设
，则
是上述方程的两个实根，

于是
-------------------------5分

又点
的坐标为
，所以

-------------------------7分

故
，得证

（ii）设直线的斜率为
，则直线的方程为
，由
解得
或
，则点A的坐标为

又直线
的斜率为
，同理可得点B的坐标为
.

于是
----------------------8分

由
得
，

解得
或
，则点
的坐标为
；

又直线的斜率为
，同理可得点
的坐标

于是
----------------------10分

因此
---------------------12分

由题意知，
解得
或
。----------------------12分

又由点
的坐标可知，
，所以

故满足条件的直线
存在，且有两条，其方程分别为
和
。-------------13分

22.解：（1）因为

，
，则
， ----------------------------1分

当
时，
；当
时，
．

所以
在（0，1）上单调递增；在
上单调递减，

所以函数
在
处取得极大值． ----------------------------------------------------- ---2分

因为函数
在区间
（其中
）上存在极值，

所以
解得
-----------------------------------------------------------------4分

（2）不等式
，

即为
记

-----------------------------------------------6分

令
则
，

在
上单调递增，
，

从而
故
在
上也单调递增，

，所以
-------------------------------8分

（3）由（2）知：
恒成立，即

令
，则
， -------------------------------------------------------10分

所以

………… ……

．

叠加得：
…
…

------------------------------------------------------------------12分

则
…
，所以
----------------------------------------------------------------------14分