湖北省部分重点中学2014届高三第二次联考

高三数学试卷（文史类）

命题学校：武汉六中 命题教师：袁泉润 审题教师：张霞

考试时间：2014年元月20日下午14:00—16:00 试卷满分：150分

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）

1、已知全集U=
，集合A=
，B=
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2、已知
是实数，
是纯虚数，则
等于（ ）

A．
B．1 C．
D．

3、已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．6

4、已知
是各项为正数的等比数列，
则

=（ ）

A．80 B．20 C．32 D．

5、若a=
，b=
，且a// b，则锐角
=（ ）

A．
B．
C．
D．

6、已知
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

7、设函数
的图象关于直线
对称，且它的最小正周期为
，则 （ ）

A.
在区间
上是减函数 B.
的图象经过点
C.
的图象沿着x轴向右平移
个单位后所得图象关于y轴对称

D.
在
上的最小值为

8、已知直二面角
，点A∈
，B∈
，A、B到棱
的距离相等，直线AB与平面
所成的角为
，则AB与棱
所成的角的余弦是（ ）

A ．
B．
C．
D．

9、已知点
是双曲线
的右焦点，
关于直线
的对称点A恰在该双曲线的右支上，则该双曲线的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

10、已知
，
在
上都有且只有一个零点，
的零点为
，
的零点为
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，共35分）

11．若
，则
__________．

12．不等式
的解集是__________．

13．已知a、b为实数，
，则
的最小值为__________．

14．
中，过点A作
，垂足为H，
,则
=__________．

15．由直线
上的点向圆
引切线，则切线长的最小值为__________．

16．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共120台、且冰箱至少生产20台。已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：

家电名称

空调器

彩电

冰箱



工 时









产值（千元）

4

3

2



则每周应生产冰箱__________台，才能使产值最高？

17．集合A=
，（1）判断1与集合A的关系：1___ A(填
或
)；(2)若A
Z中有且只有两个元素（Z为整数集），则a的取值范围是__________．

三、解答题：（本大题共5小题，共65分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18、（本题满分12分）已知函数
（
）在
处取最小值．

（1）求
的值；

（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝，f(A)＝，求角C．

19、（本题满分13分）已知四边形ABCD是矩形，AB=1，BC=
，将
沿着对角线AC折起来得到
且顶点
在平面ACD上射影O恰落在边AD上，如图所示．

（1）求证：平面

平面
；

（2）求三棱锥
的体积
．

20、（本题满分13分）已知数列
满足
，
，
，

（1）求证：
时，总有
；

（2）数列
满足
,求
的前2n项和
．

21、（本题满分13分）已知函数
在
上有两个极值点
，且

（1）求实数
的取值范围；

（2）证明：
．

22、（本题满分14分）已知曲线C：
，A
，F（2,0）

设M为曲线C上x轴上方任一点，求证：
；

若曲线C上存在两点C，D关于直线l：
对称，求实数b的取值范围；

在（2）的条件下，是否存在过C、A、D、F的圆，且该圆的半径为
．

如果存在，求出这个圆的方程；如果不存在，说明理由．

参考答案及评分标准

选择题：

1．C 2．B 3．A 4．A 5．C 6．A 7．D 8．B 9．A 10．A

二、填空题：

11．
12．
13．1 14．0 15．
16．20 17．
；

三、解答题：

18、（1）

处取得最小值，
，

又
，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）

（2）

，由于
，所以

在
中由正弦定理得
，即
，
，．．．．．．．（9分）

，
或
，当
时，
；当
时，

或
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）

19、（1）
平面ABCD，
平面ABCD，

，又CD
AD，AD

=O

平面
，又
平面

，又
，且

平面
，又
平面

平面

平面
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）

（2）由于
平面
，
平面ABCD，所以

在
中，
，又由
得

，所以

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（13分）

20、（1）由
（1） 对一切正整数n都成立，得

（2）

（1）除以（2）得
，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）

（2）由（1）中的结论知
的奇数项和偶数项分别从小到大构成公比为3的等比数列，其中

由已知有，

的前2n项和

=

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（13分）

21、（1）
，由题意知方程
在
上有两不等实根，设
，其图象的对称轴为直线
，故有

，解得
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）

（
构造
利用图象解照样给分）

（2）由题意知
是方程
的大根，从而
且有
，即
，这样

设
，
=0，解得
，由
，
；
，
；
，
知，

在
单调递增，又

，从而
，

即
成立。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（13分）

（2）另解：由题意知
是方程
的大根，从而
，由于

，
，

设
，
，

h(x)在
递增，
，即
成立。．．．．．．．．．．．．．．．（13分）

22、（1）设M点坐标为
，则有
，即
。由于点M为x轴上方的一点，

=

又
、

，且由正切函数的性质，有
．．．．．（5分）

设直线CD的方程为
，代入
中得

（1）

由于方程（1）有两不等正根，设C、D的坐