北京市朝阳区2014届高三上学期期中考试数学理试题（word版） 2013.11

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合
，
．若
，则实数
的值是

A．
B． C．
或 D．
或或

2.命题：对任意
，
的否定是

A．
：对任意
，

B．
：不存在
,

C．
：存在
,

D．
：存在
,

3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为

A．91 B． 55 C．54 D．30

4.若
， 则

A．
B．

C．
D．

5.由直线
，
，
与曲线
所围成的图形的面积等于

A．
B．
C． D．

6.已知平面向量
，
，
，则下列结论中错误的是

A．向量与向量
共线

B．若
（
，

），则
，

C．对同一平面内任意向量
，都存在实数
，
，使得

D．向量在向量
方向上的投影为

7. 若函数
的图象与函数
的图象至多有一个公共点，则实数
的取值范围是 . .

A.
B.
C.
D.

8.同时满足以下4个条件的集合记作
：（1）所有元素都是正整数；（2）最小元素为1；（3）最大元素为2014；（4）各个元素可以从小到大排成一个公差为

的等差

数列．那么
中元素的个数是

A．96 B．94 C．92 D．90

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

9．在公比小于零的等比数列
中，
，
，则数列
的前三项和
．

10．函数

的最小值是 ．

11．曲线
在点
，
处的切线经过点
，
，则
．

12．已知平面向量与
的夹角为
，
，
，则
；若平行四边形
满足
，

，则平行四边形
的面积为 ．

13．已知函数
若
，则实数的取值范围是 ．

14．已知函数
（
），数列
满足
，
，
.则
与
中，较大的是 ；
，
，
的大小关系是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期及最小值；

（Ⅱ）若
，且
，求的值．

16. （本小题满分13分）

在
中，角，，
所对的边分别为，
，，且
．

（Ⅰ）若
，求
的面积；

（Ⅱ）若
，求
的最大值.

17.（本小题满分13分）

已知等差数列
的前项和为
，
，且
，
.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
，求
的值和
的表达式.

18. （本小题满分14分）

已知函数
,
.

（Ⅰ）若函数
的图象与轴无交点，求的取值范围；

（Ⅱ）若函数
在
上存在零点，求的取值范围；

（Ⅲ）设函数
，
.当
时，若对任意的
，总存在
，使得
，求
的取值范围．

19.（本小题满分14分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）设
，
，
，
为函数
的图象上任意不同两点，若过， 两点的直线
的斜率恒大于
，求的取值范围.

20. （本小题满分13分）

如果项数均为
的两个数列
，
满足
且集合
，则称数列
是一对 “项相关数列”.

（Ⅰ）设
是一对“4项相关数列”，求
和
的值，并写出一对“项相关数列”
；

（Ⅱ）是否存在 “
项相关数列”
？若存在，试写出一对
；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）对于确定的，若存在“项相关数列”，试证明符合条件的“项相关数列”有偶数对．

北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期中统一考试

数学试卷答案（理工类） 2013.11

选择题：

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答案

C

C

B

D

A

C

D

B





二、填空题：

题号

9

10

11

12

13

14



答案



















（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）

三、解答题：

（15）（本小题满分13分）

解：

．

（Ⅰ）函数
的最小正周期为
，

函数
的最小值为
． ………6分

（Ⅱ）由
得
．

所以
．

又因为
，所以
，

所以
或
．

所以
或
． ………13分

16. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为
，
，

所以
.

所以
.

因为
，

所以
. ………6分

（Ⅱ）因为

所以
.

因为


.

，所以
.当且仅当
时等号成立.

所以
的最大值为
………13分

17. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）等差数列
的公差为
，则

解得，
，
，则
，
. ………5分

（Ⅱ）当
时，
，当
时，
.

则

时，

；
时，
.

即

. ………13分

18. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）若函数
的图象与轴无交点，则方程
的判别式
，

即
，解得
. ………3分

（Ⅱ）
的对称轴是
，所以
在
上是减函数，
在
上存在零点，则必有：

，即
，

解得：
，故实数 的取值范围为
； ………8分

（Ⅲ）若对任意的
，总存在
，使
，只需函数
的值域为函数
值域的子集.当
时，
的对称轴是
，所以
的值域为
， 下面求
，
的值域，

①当
时，
，不合题意，舍

②当
时，
的值域为
，只需要

，解得

③当
时，
的值域为
，只需要

，解得

综上：实数
的取值范围
或
………14分

19. （本小题满分14分）

解:（Ⅰ） 依题意，
的定义域为
，

.

（ⅰ）若
，

当
时，
，
为增函数.

(ⅱ)若
,

恒成立，故当
时，
为增函数.

（ⅲ）若
,

当
时，
，
为增函数；

当
时，