昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测

数 学 试 卷（文 科）

（满分150分，考试时间120分钟）2014.1

考生须知：

本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。

考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

(1) 已知全集
，集合
,则集合

(A)
(B)
(C)
(D)

(2) 在复平面内表示复数
的点位于

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(3) 若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的
等于

(A)63 (B)31 (C)127 (D)15

(4) “
”是“直线
与
平行”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

(5) 设
是两条不同直线,
是两个不同的平面,下列命题正确的是

(A)
且
，则
(B)
且
，则

(C)

，则
(D)

，则

(6)将函数
的图象向右平移
个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），得到的函数解析式为

(A)
(B)
(C)
(D)

(7)已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围是

(A)
(B)
(C)
(D)

(8) 已知函数
的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆
上，则函数
的图象的一条对称轴可以是

(A)直线
(B) 直线
(C)直线
(D)直线

第二卷（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）

(9) 已知向量
，若
，则
________ .

(10) 若实数
满足
，则
的最大值是________ .

(11) 抛物线
的准线方程是
，则实数
的值为________ .

(12) 设
，当
时，
从小到大的顺序是___ .

(13) 若
是2和8的等比中项，则
________ ，圆锥曲线
的离心率是___________ .

(14) 函数
的定义域为
，若对于任意
，当
时，都有
，则称函数
在
上为非减函数.设函数
在
上为非减函数，且满足以下三个条件：①
；②
；③
.

则
_______ ；
_________ .

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

(15)(本小题满分13分)

已知
的内角
的对边分别为
，
，
，
.

(Ⅰ)求
；

(Ⅱ)求
的面积.

(16)(本小题满分13分)

为了参加某项环保活动，用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中，抽取若干人组成环保志愿者小组，有关数据见下表：

年级

相关人数

抽取人数



高一

36





高二

72





高三

54

3





（Ⅰ）分别求出样本中高一、高二年级志愿者的人数
，
；

（Ⅱ）用
表示样本中高一年级的志愿者，
表示样本中高二年级的志愿者，现从样本中高一、高二年级的所有志愿者中随机抽取2人.

（1）按照以上志愿者的表示方法，用列举法列出上述所有可能情况；

（2）求二人在同一年级的概率.

(17)(本小题满分14分)

如图，在直三棱柱
中，
,
为
的中点.

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

(Ⅱ) 求证：
平面
；

（Ⅲ）求三棱锥
的体积.

(18)(本小题满分13分)

设函数
.

（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线方程为
,求实数
的值；

（II）若
，求函数
的最大值.

(19)(本小题满分13分)

已知椭圆
的焦距为
，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为
，过点
的直线
与椭圆
交于两点
.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设
为椭圆上一点，且满足
（
为坐标原点），求实数
的取值范围.

(20)(本小题满分14分)

已知无穷数列
中，
是首项为
,公差为
的等差数列，
是首项为
,公比为
的等比数列(其中
),并对任意的
，均有
成立.

(Ⅰ)当
时,求
；

(Ⅱ)若
，试求
的值；

(Ⅲ)判断是否存在
，使得
成立?若存在,试求出
的值；若不存在,请说明理由.

昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷（文科）参考答案及评分标准 2014.1

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

题 号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答 案

C

B

B

A

B

D

C

D





二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）
（10）

（11）
（12）
(方向写反扣2分)

（13）
（答出一个给1分，两个给2分）；
或
（答出一个给1分，两个给3

分） （14）
；
（第一空2分，第二空3分）

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

(15)(本小题满分13分)

解：(Ⅰ) 因为
为
的内角，且
，
，

所以
.

所以

. ………7分

(Ⅱ) 在
中，由正弦定理
，解得
.

所以
的面积为
. ………13分

(16)(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）依题意，分层抽样的抽样比为
.

所以在高一年级抽取的人数为
人 ，

在高二年级抽取的人数为
人. ………4分

（Ⅱ）（1）用
表示样本中高一年级的2名志愿者，用
表示样本中

高二年级的4名志愿者.则抽取二人的情况为

共15种. ………9分

（2）设
为事件“抽取的二人在同一年级”.

因为抽取的二人在同一年级的情况是

共7种.

所以抽取的二人是同一年级的概率为
. ………13分

(17)(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）在直三棱柱
中,连结
交
于
，连结
.

因为
，

所以四边形
、
为正方形.

所以
为
中点.

在
中，因为
为
的中点，

所以
∥
.

因为

平面
，

平面
，

所以
∥平面
. ………5分

(Ⅱ)因为三棱柱
为直三棱柱，

所以
平面
.

因为
平面
，

所以
.

又
，
,

所以
平面
.

因为
，

所以
.

因为
是正方形，

所以
.

又
，

所以
平面
. ………10分

（Ⅲ）因为
为等腰直角三角形，

所以
.

因为
平面
,

所以
. ………14分

(18)(本小题满分13分)

解：(Ⅰ) 函数
的定义域为
.

，

因为曲线
在
处与直线
相切，

所以

解得
………6分

(Ⅱ) 当
时，
.

因为
,

（1）当
时，
.

因为
时，
，

所以
在
上单调递减，无最大值.

（2）当
时，
，

所以
时，
，

所以
在
上单调递减，无最大值.

（3）当
时，
.

因为
时，
，

时，
，

所以
在
上单调递增，在
上单调递减.

所以
. ………13分

(19)(本小题满分13分)

解：（I）因为所求椭圆的方程为
，焦距为
,

所以
.

设过焦点且垂直于长轴的直线为
.

因为过焦点且垂直于长轴的直线
被椭圆截得的弦长为
，

代入椭圆方程解得：
，即
.

由
解得

所以所求椭圆的方程为：
. ……… 6分

（Ⅱ）设过点
的直线
的斜率为
,显然
存在.

（1）当
时，
，所以
.

（2）当
时，设直线
的方程为
.

由
消
并整理得

.

当
时，可得
.

设
,则

，
.

因为
,

所以
.

所以
,

.

由点
在椭圆上得
.

解得
.

因为
，

所以
.

所以
.

所以
.

所以
.

所以
.

所以
.

所以
.

所以
.

综合(1) (2)可知
…………13分

(20)(本小题满分14分)

解：(Ⅰ)
时,数列的周期为
.

因为
，而
是等比数列中的项,

所以
. ………4分

(Ⅱ)设
是第一个周期中等比数列中的第
项,则
.

因为
,

所以等比数列中至少有
项,即
，则一个周期中至少有
项.

所以
最多是第三个周期中的项.

若
是第一个周期中的项,则
，

所以
；

若
是第二个周期中的项,则
，

所以
，
；

若
是第三个周期中的项,则

所以
，
.

综上,
. ………9分

(Ⅲ)因为
是此数列的周期,

所以
表示64个周期及等差数列的前3项之和.

所以
最大时,
最大.

因为

，

当
时，
；

当
时，
；

当
时,
.

当
时，
取得最大值,则
取得最大值为

.

由此可知,不存在
，使得
成立. ……14分

【各题若有其它解法，请酌情给分】