2014年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第一次适应性训练

数 学（理科）

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．若向量
，
满足
，
，且
，则
与
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．
的展开式中常数项是（ ）

A．5 B．
C．10 D．

4.把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数
的反函数图像重合，则f(x)=（ ）

A.
B.
C.
D.

5．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为
，底面是边长为
的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( )

A．
B．
C．
D．

6．已知抛物线
的焦点与双曲线
的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．在
这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）

A．36个 B．24个 C．18个 D．6个

8．已知等差数列
中，
为其前n项和，若
，
，则当
取到最小值时n的值为（ ）

A．5 B．7 C．8 D．7或8

9．定义运算
为执行如图所示的程序框图输出的s值，则
的值为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．―1

10．右图是两组各
名同学体重（单位：
）数据的茎叶图．设，两组数据的平均数依次为
和
，标准差依次为
和
，那么（ ）

（注：标准差
，其中为
的平均数）

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．若
;

12．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为 ．

13．在△
中，
，
，
，则
；

14.若直线
：
被圆C：
截得的弦最短，则k= ；

15.选做题（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

A（极坐标系与参数方程）极坐标系下曲线
表示圆，则点
到圆心的距离为 ；

B（几何证明选讲）已知
是圆
的切线，切点为，
．
是圆
的直径，
与圆
交于点，
，则圆
的半径
．

C（不等式选讲）若关于的不等式
存在实数解，则实数的取值范围是 ．

三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16．（本小题共12分）已知在等比数列
中，
，且
是
和
的等差中项．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足
，求
的前项和
．

17．（本小题12分）在
中，角A，B，C所对的边分别为

（Ⅰ）叙述并证明正弦定理；

（Ⅱ）设
，
，求
的值．

18．（本小题12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.

（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；

（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是
，答对每道乙类题的概率都是
，且各题答对与否相互独立.用
表示张同学答对题的个数，求
的分布列和数学期望.

19．（本题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上任一点．

（Ⅰ）求证：无论E点取在何处恒有
；

（Ⅱ）设
，当平面EDC平面SBC时，求
的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角
的大小．

20．（满分13分）已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线
的焦点重合．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知经过定点M（2,0）且斜率不为0的直线
交椭圆C于A、B两点，试问在x轴上是否另存在一个定点P使得
始终平分
？若存在求出点坐标；若不存在请说明理由．

21．（本小题满分14分）已知函数
，
．

（Ⅰ）若曲线
在
与
处的切线相互平行，求的值及切线斜率；

（Ⅱ）若函数
在区间
上单调递减，求的取值范围；

（Ⅲ）设函数
的图像C1与函数
的图像C2交于P、Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行．

2014年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第一次适应性训练

数学（理科）参考答案

选择题：1．A 2．C 3．D 4．D 5．B 6．C 7．B 8．D 9．A 10．C

填空题：11．3； 12．
； 13．
； 14．1；

15．A．
； B．
； C．

三、解答题：

16．【解】：（Ⅰ）设公比为q，则
，
，∵
是
和
的等差中项，∴
，∴

（Ⅱ）

则

17．【解】：（Ⅰ）设
的外接圆半径为R

正弦定理：
（证明从略）

（Ⅱ）由正弦定理

，

∴

18．【解】：（I）

（II）X的所有可能的取值为：0,1,2,3

，

∴X的分布列为：

X

0

1

2

3



P











∴

19．【解】：（Ⅰ）∵BCBD，∴BC平面SBD，而
面SBD，∴

（Ⅱ）设
，

，取平面EDC的一个法向量
，

∵
，
，取平面SBC的一个法向量

平面EDC平面SBC

（Ⅲ）当
时，
，取平面ADE的一个法向量
，

取平面CDE的一个法向量
，则
，

∴二面角
为120°

20．【解】：（Ⅰ）∵椭圆的短轴长为４，∴
，又抛物线
的焦点为
，∴
，则
，∴所求椭圆方程为：
．

（Ⅱ）设
：
，代入椭圆方程整理得：

则
，假设存在定点
使得
始终平分
，

则

，∴对于
恒成立，∴
，

故存在定点的坐标为
．

21．【解】：（Ⅰ）
，

则

∵在
与
处的切线相互平行，

∴
，

（Ⅱ）
在区间
上单调递减
在区间
上恒成立

，∵
，∴
，

只要

（Ⅲ）
，

假设有可能平行，则存在使

=

=
，不妨设
，
>1

则方程
存在大于1的实根，设

则
，∴
，这与存在t>1使
矛盾．