北京市朝阳区2014届高三上学期期中考试数学文试题（word版）

2013．11

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．已知集合
，
．若
，则实数
的值是

A．
B． C．
或 D．
或或

2．命题：对任意
，
的否定是

A．
：存在
,
B．
：存在
,

C．
：不存在
,
D．
：对任意
，

3．执行如图的程序框图，则输出的值等于

A．91 B． 55 C．54 D．30

4．已知为第二象限角，且
，则
的值是

A．
B.
C.
D.

5．函数
是

A．奇函数且在上是减函数 B．奇函数且在上是增函数

C．偶函数且在
上是减函数 D．偶函数且在
上是增函数

6．已知平面向量
，
，
，则下列说法中错误的是

A．∥

B．

C．对同一平面内的任意向量
，都存在一对实数
，使得

D．向量与向量
的夹角为

7．若
，则

A．
B．

C．
D．

8．同时满足以下四个条件的集合记作
：（1）所有元素都是正整数；（2）最小元素为1；（3）最大元素为2014；（4）各个元素可以从小到大排成一个公差为

的等差

数列．那么
中元素的个数是

A．96 B．94 C．92 D．90

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

9．在各项均为正数的等比数列
中，已知
，
，则公比的值是 ．

10．已知平面向量
满足
，
，
，则|
|= .

11．函数

的最小值是 ．

12．在△
中，角
所对的边分别为
，且
，

则
；若
,则
．

13．函数
的值域是 ．

14．已知函数
（
），数列
满足
，
，
.则
与
中，较大的是 ；
的大小关系是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期及最小值；

（Ⅱ）若为锐角，且
，求的值．

16．（本小题满分13分）

在△
中，角
所对的边分别为
，若
，
．

（Ⅰ）求△
的面积；

（Ⅱ）若
，求的值．

17．（本小题满分13分）

已知数列
，
的通项
，
满足关系
，且数列
的前项和

．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前项和
．

18．（本小题满分14分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）若函数
在
上至少有一个零点，求的取值范围；

（Ⅱ）若函数
在
上的最大值为
，求的值．

19．（本小题满分14分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）设点
为函数
的图象上任意一点，若曲线
在点处的切线的斜率恒大于
，求的取值范围．

20．（本小题满分13分）

如果项数均为
的两个数列
满足
且集合
，则称数列
是一对 “项相关数列”．

（Ⅰ）设
是一对“4项相关数列”，求
和
的值，并写出一对“项相关数列”
；

（Ⅱ）是否存在 “
项相关数列”
？若存在，试写出一对
；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）对于确定的，若存在 “项相关数列”，试证明符合条件的 “项相关数列”有偶数对．

北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期中统一考试

数学试卷答案（文史类） 2013．11

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

A

B

D

B

C

A

B





二、填空题：

题号

9

10

11

12

13

14



答案



















（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）

三、解答题：

15. 解：

．

（Ⅰ）函数
的最小正周期为
，

函数
的最小值为
． ┅┅┅┅┅┅ 7分

（Ⅱ）由
得
．

所以
．

又因为
，所以
，

所以
．

所以
． ┅┅┅┅┅┅ 13分

16. 解：（Ⅰ）因为
，

所以
.

又因为
，所以
.

因为
，

所以
. ┅┅┅┅┅┅ 7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
.

又因为
，
，

所以


.

所以
. ┅┅┅┅┅┅ 13分

17. 解：

（Ⅰ）当
时，
；

当
时，
.

验证
，所以

. ┅┅┅┅ 6分

（Ⅱ）由
，得

.

因为
,所以数列
是以
为首项，为公比的等比数列.

. ┅┅┅┅┅┅ 13分

18.解：（Ⅰ）依题意，函数
在上至少有一个零点

即方程
至少有一个实数根.

所以
，

解得
. ┅┅┅┅┅┅ 5分

（Ⅱ）函数
图象的对称轴方程是
.

① 当
，即
时，
.

解得
或
.又
,

所以
.

② 当
，即
时，

解得
.又
,

所以
.

综上，
或
. ┅┅┅┅┅┅ 14分

19.解：（Ⅰ） 依题意，
的定义域为
，

.

①当
时，

令
，解得
，所以函数
在
上是增函数；

②当
时,

令
，解得
或
，所以函数
在
和
上是增函数；

③当
时,

在
上恒成立，所以函数
在
是增函数；

④当
时,

令
，解得
或
，所以函数
在
和
上是增函数.

综上所述，

①当
时，函数
的单调递增区间是
；

②当
时，函数
的单调递增区间是
和
；

③当
时，函数
的单调递增区间是
；

④当
时，函数
的单调递增区间是
和
. ┅┅┅┅┅┅7分

（Ⅱ）因为函数
在点
处的切线的斜率大于
，

所以当
时，
恒成立.

即当
时，
恒成立.

方法1：

设

，函数
的对称轴方程为
.

（ⅰ）当
时，

在
时恒成立.

(ⅱ) 当
时，即
时，在
时，函数
成立，则方程
的判别式
，解得
.

(ⅲ)当
时，即
时，
在
上为增函数，
的取值范围是
，则在
时，函数
不恒成立.

综上所述，
时，在函数
的图象上任意一点处的切线的斜率恒大于
.

方法2：

由
在
时恒成立，得
时，
.

（ⅰ）当
时，