昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测

数 学 试 卷（理 科）

（满分150分，考试时间120分钟） 2014.1

考生须知：

本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。

考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

(1) 已知全集
，集合
,
, 则

(A)
(B)
(C)
(D)

(2) “
”是“
”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

(3) 给定函数①
，②
，③
，④
，其中在区间
上单调递增的函数的序号是

（A）② ③ （B）① ③ （C）① ④ （D）② ④w

(4) 执行如图所示的程序框图，输出的
值是

(A)

(B)

(C)

(D)

(5) 若实数
满足
则
的最小值是

(A)
(B)
(C)
(D)

(6) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是

(A)

(B)

(C)

(D)

(7) 连掷两次骰子得到的点数分别为
和
,若记向量
与向量
的夹角为
,则
为锐角的概率是

(A)
(B)
(C)
(D)

（8）已知函数
在点
处的切线与
的图象有三个公共点，则
的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

第二卷（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）

(9) 已知
是第二象限的角，
，则
的值为___________ .

(10) 如图，在复平面内，复数
对应的向量为
，则复数
=_______ .

(11) 已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
_____ ，
_____.

（12）曲线
所围成的图形的面积等于___________ .

(13) 在
中，
,则
________ .

(14) 将含有
个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合
,其中
，
，
，若
中的元素满足条件：
，
，
，则称
为“完并集合”.

①若
为“完并集合”，则
的一个可能值为 .（写出一个即可）

②对于“完并集合”
，在所有符合条件的集合
中，其元素乘积最小的集合是 .

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

(15)(本小题满分13分)

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）当
时，求函数
的取值范围.

(16)(本小题满分13分)

为了调研某校高一新生的身高（单位：厘米）数据，按
的比例对
名高一新生按性别分别进行“身高”抽样检查，测得“身高”的频数分布表如下表1、表2.

表1：男生“身高”频数分布表

身高















频数

2

5

14

13

4

2





表2：女生“身高”频数分布表

身高















频数

1

7

12

6

3

1





（Ⅰ）求高一的男生人数并完成下面的频率分布直方图；

（Ⅱ）估计该校学生“身高”在
之间的概率；

（Ⅲ）从样本中“身高”在
的男生中任选
人，求至少有
人“身高”在

之间的概率.

(17)(本小题满分14分)

在四棱锥
中，
平面
，

,
.

(Ⅰ)求证：
；

(Ⅱ)求
与平面
所成角的正弦值；

(Ⅲ)线段
上是否存在点
,使
平面
？说明理由.

(18)(本小题满分13分)

在平面直角坐标系
中，已知点
,圆
的圆心在直线
上，并且与直线
相切于点
.

(Ⅰ)求圆
的方程；

(Ⅱ)若动点
满足
，求点
的轨迹方程；

（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，是否存在实数
，使得
的取值范围是
，说明理由.

(19)(本小题满分13分)

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求函数
的单调区间.

(20)(本小题满分14分)

设满足以下两个条件的有穷数列
为
阶“期待数列”：

①
，②
.

(Ⅰ)若等比数列
为
阶“期待数列”,求公比
；

(Ⅱ)若一个等差数列
既是
阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式；

(Ⅲ)记
阶“期待数列”
的前
项和为
.

(1)求证:
；

(2)若存在
，使
,试问数列
能否为
阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.

昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷（理科）参考答案及评分标准 2014.1

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

题 号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答 案

A

B

B

C

C

A

B

D



二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）
（10）

（11）
；
（12）

（13）
； （14）
（
）（写出一个即可） ；

（第一空2分，第二空3分）

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

(15)(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）因为

，

所以函数
的最小正周期
. ………7分

（Ⅱ）因为
所以
.所以
.

所以
. 所以函数
的取值范围为
. ………13分

(16)(本小题满分13分)

解：(Ⅰ)因为样本中男生人数是
,由抽样比例是
可得高一的男生人数是
.男生的频率分布直方图如图所示.

………4分

(Ⅱ)设
为事件“该校学生“身高”在
之间”.

由表1和表2知,样本中“身高”在
中人数是

，样本的容量是
,

所以样本中学生“身高”在
之间的频率是
.

由
估计学生“身高”在
之间的概率是
. ………8分

(Ⅲ) 设
为事件“从样本中“身高”在
的男生中任选
人，至少有
人“身高”在
之间”.

样本中“身高”在
之间的有
人,设其编号是
；

样本中“身高”在
间的男生有
人,设其编号为
.

从中任取
人的结果总数是

. 共
种.

至少有
人“身高”在
间的有
种,

因此,所求概率是
. ………13分

【用排列组合公式计算可酌情给分】

(17)(本小题满分14分)

证明：(Ⅰ)在四棱锥
中，因为
平面
，
平面
,

所以
. 因为
， 所以
.

因为
, 所以
平面
.

因为
平面
,所以
. ………4分

(Ⅱ) 如图，以
为原点建立空间直角坐标系
. 不妨设
，则
.

则
.

所以
，
.

设平面
的法向量
.

所以
.即
.

令
，则
.

所以
所以

所以
与平面
所成角的正弦值为
. ………9分

(Ⅲ)（法一）当
为线段
的中点时,
平面
.

如图：分别取
的中点
,连结
.

所以
,且