考试时间：120分钟 考试分数：150分

试卷说明：试卷共三部分：第一部分：选择题型（1－12题　60分）第二部分：填空题型（13－16题　20分）第三部分：解答题型（17－22题　70分）.

第Ⅰ卷(客观题　共60分)

一、选择题（每小题只有一个正确答案）

1．已知集合A＝{1，3，
}，B＝{1，m} ,A
B＝A , 则m=（ ）

A .0或
B.0或3 C.1或
D.1或3

2.如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是（ ）

A． B.

C．
D．

3.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）

4.右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，

表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）

A.

B.

C.

D.

5.设
、
都是非零向量，下列四个条件中，使

成立的充分条件是（ ）

A．
B.
C．
D．
且

6.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，

则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

7．设等差数列
的前n项和为
，若
，则
中最大的是（ ）A.
B.
C.
D.

8.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198



 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481



A.08 B.07 C.02 D.01

9.下列说法：①命题“
”的否定是“
”；

②若一个命题的逆命题为真，则它的否命题也一定为真；

③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题；

④“x≠3”是|x|≠3成立的充分条件.其中错误的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

10. 设
是等比数列，
，公比
，
为
的前n项和，
为数列
的前n

项和，若
.记
,设
为

数列{
}的最大项，则
（ ）

A.3 B.4 C.5 D.6

11．函数
（
,
）的图像在
上单调递增，则的

最大值是（ ）

A．
B．
C． 1 D．

12.函数
，则
的零点个数是（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

第Ⅱ卷(主观题　共90分)

二、填空题

13.设为实常数，
是定义在R上的奇函数，当
时，
，若
对一切
成立，则的取值范围为 .

14.一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为1，则这个球的体积是 .

15.如右图，迎面从左至右悬挂3串气球，分别有两串绑两只，一串绑3只，现在用枪射击气球，假设每枪均能命中一只气球，要求每次射击只能射击每串最下方的气球，则用7枪击爆这7只气球不同的次序有多少种 .

16.
表示不超过的最大整数，若函数
，当
时，
有且仅有3个零点，

则的取值范围为 .

三、解答题

17.（本小题满分12分）

如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.

（Ⅰ）若PB=，求PA；

（Ⅱ）若∠APB＝150°，求tan∠PBA.

18.（本小题满分12分）

四棱锥
的底面
是正方形，侧棱
⊥底面
，
，是
的中点.

（Ⅰ）证明
//平面
；

（Ⅱ）求二面角
的平面角的余弦值.

19.（本小题满分12分）

如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，……，依次类推．一个半径适当的光滑均匀小球从入口A投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是
．记小球遇到第行第个障碍物（从左至右）上顶点的概率为
．

（Ⅰ）求
，
的值，并猜想
的表达式（不必证明）；

（Ⅱ）已知
，设小球遇到第6行第个障碍物（从左至右）上顶点时，

得到的分数为
，试求
的分布列及数学期望．

20.（本题满分12分)

已知数列
满足：

.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列

，试求数列
的前项和
.

21.（本题满分12分)

已知函数

（Ⅰ）试判断函数
上单调性并证明你的结论；

（Ⅱ）若
对于
恒成立，求正整数
的最大值；

（Ⅲ）求证：
．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.

22.（本题满分10分)

选修4－1：几何证明选讲

如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转
到

OD．

（Ⅰ）求线段PD的长；

（Ⅱ）在如图所示的图形中是否有长度为
的线段?若有,指出该线段;若没有,说明理由．

23．（本小题满分10分）

选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线
的参数方程为
（为参数），曲线C的极坐标方程是
，以极点为原点，极轴为轴正方向建立直角坐标系，点
，直线
与曲线C交于、两点．

（Ⅰ）写出直线
的极坐标方程与曲线C的普通方程；

（Ⅱ）线段
，
长度分别记为
，
，求
的值．

24．(本小题满分10分)

选修45：不等式选讲

设函数

（Ⅰ）若
恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若不等式
（
，
，
）恒成立，求实数的范围．

数学(理)试卷答案及评分标准

一、本题共12小题，每小题5分，共60分．

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

B

A

D

C

C

C

D

C

B

D

B



二．本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．
14．
15．210 16．

三．计算题

17. （Ⅰ）由已知，∠PBC=60°，所以∠PBA=30°.

故
（6分）

（Ⅱ）设
，由已知得
，在?PBA中，由正弦定理得
，化简得
，故
.（12分）

18. （Ⅰ）以为坐标原点，分别以
、
、
所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0）.

设
是平面BDE的一个法向量，

则由

∵

或使用线面平行定理证明（6分）

（II）由（Ⅰ）知
是平面
的一个法向量，

又
是平面
的一个法向量. （8分）

设二面角-
-的平面角为，由图可知

∴

故二面角-
-的余弦值为
（12分）

19. （Ⅰ）
，（2分）

，（4分）

猜想
；（6分）

（Ⅱ）
3,2,1

，

，

3

2

1













 （10分）

．（12分）

20.（Ⅰ）当
，
（4分）当
，
（5分），

故当
，
（6分）

（Ⅱ）
（7分），
（10分）

（12分）

21. （Ⅰ）
（2分）

上是减函数.（3分）

（Ⅱ）

即
的最小值大于
.

故正整数
的最大值是3（7分）

（III）由（Ⅱ）知

∴
（9分）

令
，则
（10分）

∴

（12分）

22．（Ⅰ）∵PA切圆O于点A,且B为PO中点,∴AB=OB=OA．

∴

（5分）

（II）存在
（10分）

23．（Ⅰ）直线的极坐标方程
，（3分）

曲线普通方程
（5分）

（II）将
代入
得
，（8分）

（10分）

24．（Ⅰ）
（5分）

（II）由
，

得
，由
，得
，

解得
或
（10分）