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哈尔滨市第三十二中学2014届高三上学期期末考试 数学试题 一、选择题（每小题5分，共60分） 1.已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝-----------------------------( ) A．(－∞，2] B．[1，2] C．[－2，1] D．[－2，2] 2.设a，b，c∈R，且a>b，则------------------------------------------------------------------( ) A．ac>bc B．< C．a2>b2 D．a3>b3 3.在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝----------------------------------------( ) A． B． C． D．1 4.设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则---------------------------( ) A．Sn＝3－2an B．Sn＝3an－2 C．Sn＝4－3an D．Sn＝2an－1 5.设x，y满足约束条件则z＝2x－3y的最小值是-----------------------( ) A．－7 B．－6 C．－5 D．－3 6.函数y＝的定义域是-----------------------------------------------------------( ) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞) 7.“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的--------------------------------------------------------------( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8.下列命题正确的是-----------------------------------------------------------------------------( ) A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 D．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 9.抛物线x=y2的焦点坐标为----------------------------------------------------------------( ) A．（2,0） B．（0,2） C．() D．（） 10.若过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝-------------------------------------------------------------------------------------------------------- ( ) A．－ B．2 C．－2 D． 11．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为-------------------------------------（ ） A．9 B．2 C. D．3 12.设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为-------------------------------------------------------------( ) A． B． C． D． 二、填空题（每空5分，共20分） 13.（文科生答）设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1，3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)= __ ______. （理科生答）若等比数列{an}的首项为，且a4＝ (1＋2x)dx，则公比等于____． 14.双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________． 15.在OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3，1)，＝(－2，k)，则实数k＝________． 16.已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________． 哈32中2013～2014学年度上学期期末考试 数学试题答题卡 一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13． _____ 14. 15. 16. 三、解答题（共70分） 17.（12分）设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈（0，）. (1)若|a|＝|b|，求x的值； (2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值． 18.（12分）若等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和． 19.（12分）（文科生答）如图1，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB， E和F分别是CD和PC的中点． 求证：(1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. （理科生答）如图2，直三棱柱中，，是棱的中点，.（1）证明： （2）求二面角的大小.
20.（12分）已知 其中，曲线在点处的切线垂直于轴. （1）求的值； （2）求函数的极值. 哈32中2013～2014学年度上学期期末考试 数学试题答案 一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60 分) 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13． －1_ 3 14. 15. 4 16. 三、解答题（共70分） 17．解：(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2 x， |b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1. 及|a|＝|b|，得4sin2 x＝1. 又x∈（0，），从而sin x＝，所以x＝. (2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin(2x－)＋， 当x＝∈(0，)时，sin(2x－)取最大值1. 所以f(x)的最大值为. 18．解：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d. 由已知可得 解得a1＝1，d＝－1. 故{an}的通项公式为an＝2－n. (2)由(1)知＝＝， 数列的前n项和为＝. 19．证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD. (2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE， 所以ABED为平行四边形， 所以BE∥AD. 又因为BE平面PAD，AD平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD， 所以PA⊥CD. 又因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD， 所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF， 所以CD⊥EF， 所以CD⊥平面BEF， 所以平面BEF⊥平面PCD. 20. 21．解：(1)设F(－c，0)，由＝，知a＝c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c， 代入椭圆方程有＋＝1，解得y＝±.于是＝，解得b＝. 又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1. (2)设点C(x1， y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)． 由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0. 由根与系数的关系得x1＋x2＝－－，x1x2＝.因为A(－，0)，B(，0)， 所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2 ＝6＋. 由已知得6＋＝8，解得k＝±. 考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。 22. 23. 24. | ||||||||||||||||||||||||||||||
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