第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.复数满足
则
等于 （ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知集合

，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3.已知向量

，满足
，则
（ ）

A.
B.
C.3 D.-3

4.命题“
，
”的否定是 （ ）

A.
，
B.
，

C.
，
D.
，
.

5.已知
则
（ ）

A.
B.
C.
D.

6.设


若
，则
的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

7．设变量
满足约束条件
，则
的最小值为 （ ）

A．

B．
C.
D．

8.对于任意的两个实数对（a,b）和（c,d），规定当且仅当
时(a,b)=(c,d)；现定义两种运算，运算“
”为：（a,b）
（c,d）=（
）；运算“
”为：(a,b)
(c,d)=（
）.设、
.若（1，2）

=（5,0）.则（1，2）

= （ ）

A．（4,0） B．（8,6） C．（0，6） D．（0，－4）

9．函数
的图象大致是 （ ）

10．已知四面体
，
平面
，,若
，则该四面体的外接球的体积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

11．
分别是双曲线

的左、右焦点，是其右支上一点，若
则
的内切圆方程是 （ ）

A．
B．

C．
D．

12. 设
是定义在R上的奇函数，

,当
时，有
恒成立，则不等式
的解集是 （ ）

A.（
，
）∪（，
） B．（
，
）∪（
，）

C．（
，
）∪（，
） D．（
，
）∪（
，）

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）

13.已知函数
图象与直线
的交点中，距离最近两点间的距离为
，那么此函数的周期是_______.

14. 一个正三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的全面积为

15.对于任意的
不等式
恒成立，则m的取值范围是 .

16. 设斜率为

的直线l过抛物线

的焦点F，且和轴交于点，若△
（
为坐标原点）的面积为，则为 .

三、解答题（本大题有8小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

已知向量
，
．

（I） 求
的单调区间；

（II）在锐角
中，角
的对边分别是
，且满足
，求函数
的取值范围．

18.（本小题满分12分）

如图，斜三棱柱
的所有棱长都为2，侧面
底面
，为
中点，为
的中点，
。

（1）求证：
∥ 平面
；

（2）求证：
平面
；

（3）求点三棱锥
的体积。·

19.（本小题满分12分）

某产品原来的成本为
元/件，售价为
元/件，年销售量为万件。由于市场饱和顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级。据市场调查，若投入万元，每件产品的成本将降低
元，在售价不变的情况下，年销售量将减少
万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为
（单位：万元）．（纯利润=每件的利润×年销售量-投入的成本）

⑴求
的函数解析式；

⑵求
的最大值，以及
取得最大值时的值．

20.（本小题满分12分）

已知圆
与圆
外切，与圆
内切.

（Ⅰ）求圆心
的轨迹的方程；

（Ⅱ）设
,
、
是轨迹上不同两点，当
时，证明直线
恒过定点，并求出该定点的坐标.

21.（本小题满分12分）

设
,函数
.

(1) 若
，求曲线
在
处的切线方程；

(2) 若
无零点,求实数的取值范围；

(3)若
有两个相异零点
,求证:

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
及其外接圆，过点作圆的切线交
的延长线于，
的角平分线分别交
于点
，若
.试求
.

23．（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，已知曲线
:
，以平面直角坐标系
的原点
为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线
：
。

（1） 将曲线
上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的
、倍后得到曲线
，试写出直线
的直角坐标方程和曲线
的参数方程；

（2）点为曲线
上一点，求点到直线
的距离最大值。

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

（1）解不等式
;

（2）若
，不等式
成立，求的取值范围。

数学（文） 答案

18.（1）（2）略（3）
3

19.解：⑴依题意，

产品升级后，每件的成本为
元，利润为
元…………2分，

年销售量为
万件……………………………3分，

纯利润为
………………………………………5分，

（万元）……………………………………7分

⑵
……9分，

……………………………………… …………10分，

等号当且仅当
……11分，即
（万元）……12分。

20.解：(Ⅰ)
，

∴
+
= 4 ……………………2分

∴点C的轨迹是以
、
为焦点，长轴长2a = 4的椭圆

∴点C的轨迹T的方程是
……………………5分

(Ⅱ)设
、
，直线MN：x = my + b ……………………6分

由
，得
………………7分

∴
=
，
=

∵PM⊥PN，
= (
)，
= (
)

∴
·
=
+
=
= 0……9分

整理，得
……………………10分

∴
·
+ m (b + 2)·(
) + (b + 2) 2 = 0

化简，得
……………………11分

解得b =
或b = -2（舍去） ……………………12分

故直线MN：
过定点 (
, 0 )

21.解：在区间（0，+∞）上，f′(x)＝
． （1）当a=2时，f′（1）=1-2=-1，则切线方程为y-（-2）=-（x-1），

即x+y+1=0?（2）①若a＜0，则f′（x）＞0，f（x）是区间（0，+∞）上的增函数，∵f（1）=-a＞0，f（
）=a-a
=a（1-
）＜0，∴f（1）?f（
）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）有唯一零点． ②若a=0，f（x）=lnx有唯一零点x=1．

③若a＞0，令f′（x）=0得：x＝
.

在区间（0，
）上，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；在区间（
，+∞）上，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；故在区间（0，+∞）上，f（x）的极大值为f（
）=?lna?1．由于f（x）无零点，须使f（
）=?lna?10．

解得：a＞

故所求实数a的取值范围是（
）（3）设
＞
＞0，∵f（
）=0，f（
）=0，∴ln
-a
=0，ln
-a
=0，∴ln
-ln
=a（
-
），ln
+ln
=a（
+
）原不等式
?
＞
等价于ln
+ln
＞2?a（
+
）＞2?

?ln
＞

令
＝t，则t＞1，于是ln
＞
?lnt＞
． 设函数g(t)＝lnt?
，(t＞1)，求导得：g′(t)＝
＞0，故函数g（t）是（1，+∞）上的增函数，∴g（t）＞g（1）=0即不等式lnt＞

成立，故所证不等式
?
＞
成立．

22.由
，得
，由
～
可知

23.解：（1）由题意知，直线
的直角坐标方程为：2x-y-6=0。

设
为曲线
上任一点，
为曲线
上对应的点，

依题意
，所以
，

因为
在曲线
上，所以
。

∴曲线
的参数方程为：
（
为参数）。

（2）圆
的圆心为（0,0）圆心到直线的距离为

因此曲线
上点P到直线
的距离最大值为
。

24.（1）

（2）
可知
的最小值为

故
，解得：
或
.