高三数学（理）滚动训练17

命题人 张子文

一．选择题：

1．已知
为虚数单位， 则复数
的模等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知函数
的定义域为
，集合
，若
：
是

Q：
的充分不必要条件，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．函数
(其中
)的部分图象如图所示，将
的图象向右平移
个长度单位，所得图象对应的函数解析式为（ ）

A.
B.

C.
D.

4.已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，

若点（x，y）在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是（ ）

A．(1－，2) B．(0，2) C．(－1，2) D．(0，1＋)

5.已知
，
，记
则
的大小关系是（ ）

A.
B.
C.
D.

6.已知数列
的前
项和
，正项等比数列
中，
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7．若点
和点
到直线
的距离依次为1和2，则这样的直线有（ ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

8.如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2；侧视图一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且AB=BC=1，则异面直线PB与CD所成角的正切值是（　 　）

A．

1

B．



C．



D．







9. 已知双曲线

是双曲线上关于原点对称的两点，
是双曲线上的动点，且直线
的斜率分别为
，若
的最小值为1，则双曲线的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知函数
则下列结论正确的（　　）

A．
在
上恰有一个零点　　 　　 B．
在
上恰有两个零点

C．
在
上恰有一个零点 D．
在
上恰有两个零点:

二、填空题：

11.已知实数

满足
，
，则
的取值范围是 .

12. 如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC 两边分别交于M、N两点，且
，则
的值为 .

13．从直线
上任取一点M向抛物线
作两条切线，切点分别为A,B，则直线AB恒过定点，其坐标为 .

14.已知函数
，若
，

且

，则
．

15．已知曲线C：
，则曲线C被直线
所截得的弦长为 .

三、解答题：

16．（本大题满分12分） 已知函数f（x）=2sin
cos
+2
sin2
-
（
>0）的最小正周期为
．

（1）求函数f（x）的单调增区间；

（2）将函数f（x）的图象向左平移
个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，b]（b>O）上至少含有10个零点，求b的最小值．

17.（本小题12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量
（单位：千套）与销售价格
（单位：元/套）满足的关系式
，其中
，
为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.

（1）求
的值；

（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格
的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）

18．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列
满足
，且
，其中
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
满足
是否存在正整数m、n（1

19.（本小题满分12分）如图，五棱锥P-ABCDE中， PA⊥底面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥CB，∠ABC=45°，
，
.

（1）求点B到平面PCD的距离；

（2）求二面角P-BC-A的正弦值；

（3）在棱PA上是否存在一点M，使得DM∥面PBC，若存在， 求出DM的长，若不存在，说明理由.

20．（本小题满分13分）已知椭圆C的左、右焦点分别为
，椭圆的离心率为
，且椭圆经过点
．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）线段
是椭圆过点
的弦，且
，求
内切圆面积最大时实数
的值.

21．（本小题满分14分）已知函数
，
，
.

（1）求
的最大值；

（2）若对
，总存在
使得
成立，求
的取值范围；

（3）证明不等式：
.

高三数学（理）滚动训练17参考答案

一．选择题

DCCAC DCCBC

二、填空题：

11.
12.
13. （1，1） 14. 2 15.

三、解答题：

16(1)解：由题意得：

由函数的最小正周期为
，得
∴
由
，得：
，k∈Z所以函数f (x)的单调增区间是
，k∈Z

(2)解：将函数f (x)的图象向左平移
个单位，再向上平移1个单位，得到
，即
的图象所以
令g (x) = 0得：
或
，k∈Z所以在每个周期上恰好有两个零点，若y = g (x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为

17.解：（1）因为
时，
，

代入关系式
，得
，

解得
. …………………………………………………4分.

（2）由（1）可知，套题每日的销售量
，

所以每日销售套题所获得的利润

……………………6分

，从而
.

令
，得
,且在
上,
，函数
单调递增；在
上，
，函数
单调递减，…………………10分.

所以
是函数
在
内的极大值点，也是最大值点，

所以当
时，函数
取得最大值.

18、解析：（1）??因为
?即
?

又
?所以有
?即

所以数列
是公比为
的等比数列?

由
得
?解得
。

从而，数列
的通项公式为

。…………6分

（II）???
?
，若
成等比数列，则
，

即
．由
，可得
，

所以
，解得：
。

又
，且
，所以
，此时
．

故当且仅当
，
?使得
成等比数列。……13分

19，解：以A为坐标原点，AB、AC、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系如图，则

（1）法一：（等体积法）

法二：设平面PCD的法向量为
，则

∴
.又
，则点B到平面PCD的距离为

（2）设平面PBC的法向量为
，则

∴

∵面ABC的一个法向量为
.∴

即二面角P-BC-A的正弦值为
.

（3）假设存在这样的点
，则
.由（2）得，面PBC的一个法向量为
，当DM∥面PBC时，
.

解得
，故存在点
，且
.

20．（1）
，又

…………4分

（2）显然直线
不与
轴重合

当直线
与
轴垂直时，|
|=3，
，
；………………5分

当直线
不与
轴垂直时，设直线
：
代入椭圆C的标准方程，

整理，得

………………7分

令

所以

由上，得

所以当直线
与
轴垂直时
最大，且最大面积为3 ……………10分

设
内切圆半径
，则

即
，此时直线
与
轴垂直，
内切圆面积最大

所以，
………………12分

21.解：[（1）∵f(x)=lnx－x+1 (x>0)

∴
∴当00，x>1时
<0[来源:Z*xx*k.Com]

∴f(x)≤f(1)=0 ∴f(x)的最大值为0

（2）
，
使得f(x1)≤g(x2)成立，等价于f(x)max≤g(x)max

由（1）知f(x)max=0，当a≤0时，g(x)=x3－ax在x∈
时恒为正，满足题意.

当a>0时，
，令
解得

∴g(x)在
上单调增

若
≤1即0

若1<
≤2即3

而g(1)=1－a<0，g(2)=8－2a在
为正，在(4,12)为负

∴3

当
>2而a>12时g(1)<0，g(2)<0不合题意

综上a的取值范围为 a≤4.

（3）由（1
）知f(x)≤0即lnx≤x－1 (x>0)

取x=
∴
∴nln

∴