测试卷A

数学(文科)

姓名______________ 准考证号___________________

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共50分)

注意事项:

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上．

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．

参考公式：

球的表面积公式

S=4πR2

球的体积公式

V=
πR3

其中R表示球的半径

锥体的体积公式

V=
Sh

其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高



柱体的体积公式

V=Sh

其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

台体的体积公式

V=
h(S1+
+S2)

其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积，

h表示台体的高

如果事件A，B互斥，那么

P(A+B)=P(A)+P(B)



一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合S＝{x|3＜x≤6}，T＝{x|x2－4x－5≤0}，则S∪T＝

A．[－1，6] 　　　　　　B．(3，5]

C．(－∞，－1)∪(6，＋∞) 　　D．(－∞，3]∪(5，＋∞)

2．已知i是虚数单位，则 (3－i) (2＋i)＝

A．5＋i B．5－i C．7＋i D．7－i

3．已知a，b∈R，则“b≥0”是“a2＋b≥0”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．若函数y＝sin 2x的图象向左平移
个单位得到y＝f (x)的图象，则

A．f (x)＝cos 2x B．f (x)＝sin 2x

C．f (x)＝－cos 2x D．f (x)＝－sin 2x

5．已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m，β∩γ＝n．

A．若m⊥n，则α⊥β B．若α⊥β，则m⊥n

C．若m∥n，则α∥β D．若α∥β，则m∥n

6．从1，2，3，4这四个数字中依次取(不放回)两个数a，b，使得a 2≥4b的概率是

A．
B．
C．
D．

7．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于

A．10 cm3 B．20 cm3

C．30 cm3 D．40 cm3

8．若正数x，y满足x 2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是

A．
B．
C．
D．

9．如图，F1，F2是双曲线C1：
与椭圆C2的公共

焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率是

A．
B．
C．
D．

10．设a，b为单位向量，若向量c满足|c－(a＋b)|＝|a－b|，则|c|的最大值是

A．1 B．
C．2 D．2

非选择题部分 (共100分)

注意事项:

1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．

2.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．

二、 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．某篮球运动员在5场比赛中得分的茎叶图如图所示，则这位球员得分的平均数等于________．

12．已知a，b∈R，若4a＝23－2b，则a＋b＝________．

13．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．

14．设z＝x－2y，其中实数x，y满足
则z的最大值等于________．

15．已知点O(0，0)，A(2，0)，B(－4，0)，点C在直线l：y＝－x上．若CO是∠ACB的平分线，则点C的坐标为________．

16．设A(1，0)，B(0，1)，直线l：y＝ax，圆C：(x－a)2＋y2＝1．若圆C既与线段AB又与直线l有公共点，则实数a的取值范围是________．

17．已知t＞－1，当x∈[－t，t＋2]时，函数y＝(x－4)|x|的最小值为－4，则t的取值范围是________．

三、 解答题: 本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．(本题满分14分) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

2a cos C＋c＝2b．

(Ⅰ) 求角A的大小；

(Ⅱ) 若a2＝3bc，求tan B的值．

19．(本题满分14分) 已知等差数列{an}的首项a1＝2，a7＝4a3，前n项和为Sn．

(Ｉ) 求an及Sn；

(Ⅱ) 设bn＝
，n∈N*，求bn的最大值．

20．(本题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．

(Ⅰ) 求证：AB1⊥平面A1BC1；

(Ⅱ) 若D为B1C1的中点，求AD与平面A1BC1所成的角．

21．(本题满分15分) 已知m∈R，设函数f (x)＝x3－3(m＋1)x2＋12mx＋1．

(Ⅰ) 若f (x)在(0，3)上无极值点，求m的值；

(Ⅱ) 若存在x0∈(0，3)，使得f (x0)是f (x)在[0，3]上的最值，求m的取值范围．

22．(本题满分14分) 已知抛物线C：y＝x2．过点M(1，2)的直线l交C于A，B两点．抛物线C在点A处的切线与在点B处的切线交于点P．

(Ⅰ) 若直线l的斜率为1，求|AB|；

(Ⅱ) 求△PAB面积的最小值．

测试卷A参考答案

数学(文科)

说明:

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力, 并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

二、对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不再给分。

三、解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。

五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分。

一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

1．Ａ 2．C 3．A 4．A 5．D

6．C 7．B 8．B 9．B 10．D

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。

11．15 12．
13．
14．2

15．(4，－4) 16．[
，
] 17．[0，2
－2]

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

18．本题主要考查正、余弦定理、三角变换，同时考查运算求解能力。满分14分。

(Ⅰ) 由题意及正弦定理得

2 sin A cos C＋sin C＝2 sin B

＝2 sin (A＋C)

＝2 (sin A cos C＋cos A sin C)，

即sin C (2 cos A－1)＝0．因为sin C≠0，所以cos A＝
，从而得

A＝
． ………… 6分

(Ⅱ) 由A＝
及余弦定理得

b2＋c2－bc＝a2＝3bc，

即 b2＋c2－4bc＝0，

所以

＝2±
．

当
＝2＋
时，

又

sin C＝sin (
－B)＝
cos B＋
sin B，

故

＝
＝
＝
，

所以

tanB＝－2－
．

当
＝2－
时，同理得

tan B＝2－
．

综上所述，tan B＝2＋
或2－
．　　　　　　　　　　 　………… 14分

19．本题主要考查等差数列的概念与通项公式、求和公式、不等式等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

(Ⅰ) 设公差为d，由题意知

a1＋6d＝4(a1＋2d)，

由a1＝2解得

d＝－3，

故

an＝－3n＋5， Sn＝
，n∈N*． ………… 8分

(Ⅱ) 由(Ｉ)得

bn＝
＝
－
(n＋
)．

由基本不等式得

n＋
≥2
＝8，

所以bn＝
－
(n＋
)≤
，又当n＝4时，bn＝
．

从而得bn的最大值为
． 　　　　　　　 ………… 14分

20．本题主要考查空间线、面位置关系，线面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分15分。

(Ⅰ) 由题意知四边形AA1B1B是正方形，故

AB1⊥BA1．

由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1．

又A1C1⊥A1B1，所以A1C1⊥平面AA1B1B，故

A1C1⊥AB1．

从而得 AB1⊥平面A1BC1． ………… 7分

(Ⅱ) 设AB1与A1B相交于点O，则点O是线段AB1的中点．

连接AC1，由题意知△AB1C1是正三角形．

由AD，C1O是△AB1C1的中线知：AD与C1O的交点为重心G，连接OG．

由(Ⅰ) 知AB1⊥平面A1BC1，故OG是AD在平面A1BC1上的射影，于是∠AGO是AD与平面A1BC1所成的角．

在直角△AOG中，

AG＝
AD＝
AB1＝
AB， AO＝
AB，

所以

sin∠AGO＝
＝
．

故∠AGO＝60°，即AD与平面A1BC1所成的角为60°．

………… 15分

21．本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等性质等基础知识，同时考查分类讨论等综合解题能力。满分15分。

(Ⅰ) 由题意知

f ′(x)＝3x2－6(m＋1)x＋12m＝3(x－2)(x－2m)．

由于f (x)在[0，3]上无极值点，故2m＝2，所以

m＝1． ………… 6分

(Ⅱ) 由于f ′(x)＝3(x－2)(x－2m)， 故

(i) 当2m≤0或2m≥3，即m≤0或m≥
时，

取x0＝2即满足题意．

此时m≤0或m≥
．

(ii) 当0＜2m＜2，即0＜m＜1时，列表如下：

x

0

(0，2m)

2m

(2m，2)

2

(2，3)

3



f ′(x)



＋

0

－

0

＋





f (x)

1

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

9m＋1





故

f(2)≤f(0)　或　f(2m)≥f(3)，

即

－4＋12m＋1≤1　或　―4m3＋12m2＋1≥9m＋1，

从而

3m≤1　或　－m(2m－3)2≥0，

所以

m≤
　或　m≤0　或　m＝
．

此时0＜m≤
．

(iii) 当2＜2m＜3，即1＜m＜
时，列表如下:

x

0

(0，2)

2

(2，2m)

2m

(2m，3)

3



f ′(x)



＋

0

－

0

＋





f (x)

1

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

9m＋1





故

f(2m)≤f(0) 或 f(2)≥f(3)，

即

－4m3＋12m2＋1≤1　或　－4＋12m＋1≥9m＋1，

从而

－?m2 (m－3)≤0　或　3m≥4，

所以

m=0　或　m≥3　或　m≥
．

此时
≤m＜
．

综上所述, 实数m的取值范围是

m≤
　或　m≥
． ………… 15分

22．本题主要考查直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分14分。

(Ⅰ) 由题意知，直线l的方程为y＝x＋1，由
消去y解得

x1＝
， x2＝
．

所以

|AB|＝

－
＝
． ………… 6分

(Ⅱ) 设直线l的方程为y＝k(x－1)＋2，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由
消去y整理得

x2－kx＋k－2＝0，

知

x1＋x2＝k， x1x2＝k－2，

又因为y′＝(x2) ′＝2x，所以，抛物线y＝x2在点A，B处的切线方程分别为

y＝2x1x－
， y＝2x2x－
．

得两切线的交点P(
，k－2)．所以点P到直线l的距离为

d＝
．

又因为

|AB|＝
＝
．

设△PAB的面积为S，所以

S＝
|AB|·d＝

≥2（当k＝2时取到等号）．

所以△PAB面积的最小值为2． ………… 14分