测试卷A

数学(理科)

姓名______________ 准考证号___________________

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共50分)

注意事项:

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合S＝{x|3＜x≤6}，T＝{x|x2－4x－5≤0}，则 ＝

A．(－∞，3]∪(6，＋∞) B．(－∞，3]∪(5，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(6，＋∞) D．(－∞，－1)∪(5，＋∞)

2. 已知i是虚数单位，则
＝

A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i

3．设函数f (x)＝x2－ax＋b (a，b∈R)，则“f (x)＝0在区间[1，2]有两个不同的实根”是

“2＜a＜4”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于

A．10 cm3 B．20 cm3 C．30 cm3 D．40 cm3

5．已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m，β∩γ＝n．

A．若m⊥n，则α⊥β B．若α⊥β，则m⊥n

C．若m∥n，则α∥β D．若α∥β，则m∥n

6．已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个．每次从该箱中取1个球 (有放回，每球取到的机会均等)，共取三次．设事件A：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件B：“三次取到的球颜色都相同”，则P(B|A)＝

A．
B．
C．
D．

7．设a，b为单位向量，若向量c满足|c－(a＋b)|＝|a－b|，则|c|的最大值是

A．2
B．2 C．
D．1

8．如图，A，F分别是双曲线
的左

顶点、右焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点．若AP⊥AQ，则C的离心率是

A．
B．

C．
D．

9．若0＜x，y＜
，且sin x＝x cos y，则

A．y＜
B．
＜y＜
C．
＜y＜x D．x＜y

10．如图，正三棱锥P－ABC的所有棱长都为4．点D，E，F分别在棱PA，PB，PC上，满足DE＝EF＝3，DF＝2的△DEF个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

非选择题部分 (共100分)

注意事项：

1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于 ．

12．若二项式
的展开式中的常数项是80，则该展开式中的二项式系数之和等于 ．

13．已知点O(0，0)，A(2，0)，B(－4，0)，点C在直线l：y＝－x上．若CO是∠ACB的平分线，则点C的坐标为 ．

14．设x，y∈R，若不等式组
所表示的平面区域是一个锐角三角形，则a的取值范围是 ．

15．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，CD＝4．过AC与BD的交点O作EF∥AB，分别交AD，BC于点E，F，则EF＝ ．

16．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有 个．

17．设数列{an}满足an＋1＝
－2，n∈N*．若存在常数A，对于任意n∈N*，恒有

|an|≤A，则a1的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．(本题满分14分) 在△ABC中，内角A，B，C满足

4 sin Asin C－2 cos (A－C)＝1．

(Ⅰ) 求角B的大小；

(Ⅱ) 求sin A＋2 sin C的取值范围．

19．(本题满分14分) 如图，已知曲线C：y＝x2 (0≤x≤1)，O(0，0)，Q(1，0)，R(1，1)．

取线段OQ的中点A1，过A1作x轴的垂线交曲线C于P1，过P1作y 轴的垂线交RQ于B1，记a1为矩形A1P1B1Q的面积．

分别取线段OA1，P1B1的中点A2，A3，过A2，A3分别作x轴的垂线交曲线C于P2，P3，过P2，P3分别作y 轴的垂线交A1P1，RB1于B2，B3，记a2为两个矩形A2P2B2 A1与矩形A3P3B3B1的面积之和．

以此类推，记an为2n－1个矩形面积之和，从而得数列{an}，设这个数列的前n项和为Sn．

(Ｉ) 求a2与an；

(Ⅱ) 求Sn，并证明Sn＜
．

20．(本题满分15分) 在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD＝4，AB＝CD＝
．

(Ⅰ) 证明：BD⊥平面PAC；

(Ⅱ) 若二面角A－PC－D的大小为60°，求AP的值．

21．(本题满分15分) 如图，已知O(0，0)，E(－
，0)，F(
，0)，圆F：(x－
)2＋y2＝5．动点P满足

|PE|＋|PF|＝4．以P为圆心，|OP|为半径的圆P与圆F的一个公共点为Q．

(Ⅰ) 求点P的轨迹方程；

(Ⅱ) 证明：点Q到直线PF的距离为定值，并求此值．

22．(本题满分14分) 已知a为给定的正实数，m为实数，函数

f (x)＝ax3－3(m＋a)x2＋12mx＋1．

(Ⅰ) 若f (x)在(0，3)上无极值点，求m的值；

(Ⅱ) 若存在x0∈(0，3)，使得f (x0)是f (x)在[0，3]上的最值，求m的取值范围．

测试卷A答案

数学(理科)

说明:

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。

五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分。

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

1．B 2．D 3．A 4．B 5．D

6．B 7．A 8．D 9．C 10．C

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。

11．
12．32 13．(4，－4) 14． (－2，－
)

15．
16．120 17．[－2，2]

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．本题主要考查三角变换、三角函数值域等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

(Ⅰ) 因为

4 sin A sin C－2 cos (A－C)＝4 sin A sin C－2 cos A cos C＋2 sin A sin C

＝－2 (cos A cos C－sin A sin C)，

所以－2 cos (A＋C)＝1，故

cos B＝
．

又0＜B＜π，所以

B＝
． ………… 6分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知C＝
－A，故

sin A＋2 sin C＝2 sin A＋
cos A＝
sin (A＋θ)，

其中0＜θ＜
，且sin θ＝
，cos θ＝
．

由0＜A＜
知，θ＜A＋θ＜
＋θ，故

＜sin (A＋θ)≤1．

所以

sin A＋2 sin C∈(
，
]． ………… 14分

19．本题主要考查等比数列的概念与求和公式、不等式等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

(Ｉ) 由题意知

P1(
，
)，

故

a1＝
×
＝
．

又

P2(
，
)，　P3(
，
)，

故

a2＝
×[
＋
－
]＝
×(12＋32－?2)＝
．

由题意，对任意的k＝1，2，3，…，n，有

(
，
)，　i＝0，1，2，…，2k－1－1，

故

an＝
×[
＋
－
＋
－
＋…＋
－
]

＝
×[12＋32－?2＋52－?2＋…＋(2n－1)2－(2n－2)2]

＝
×{1＋(4×1＋1)＋(4×2＋1)＋…＋[4×(2n－1－1)＋1]}

＝
×

＝
．

所以

a2＝
，　an＝
，　n∈N*． ………… 10分

(Ⅱ) 由(Ｉ)知

an＝
，　n∈N*，

故

Sn＝
－
＝
－
＝
．

又对任意的n∈N*，有

＞0，

所以

Sn＝
?
＜
． ………… 14分

20．本题主要考查空间线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。

(Ⅰ) 设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E．由四边形ABCD是等腰梯形得

CE＝
＝1， DE＝
＝3，

所以BE＝DE，从而得

∠DBC＝∠BCA＝45°，

所以∠BOC＝90°，即

AC⊥BD．

由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，所以

BD⊥平面PAC． ………… 7分

方法一：

(Ⅱ) 作OH⊥PC于点H，连接DH．

由(Ⅰ)知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．

所以PC⊥平面DOH，从而得

PC⊥OH，PC⊥DH．

故∠DHO是二面角A－PC－D的平面角，所以

∠DHO＝60°．

在Rt△DOH中，由DO＝
，得

OH＝
．

在Rt△PAC中，
＝
．设PA＝x，可得

＝
．

解得x＝
，即

AP＝
． ………… 15分

方法二：

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示．

由题意知各点坐标如下：

A(0，－
，1)， B(
，0， 0)，

C(0，
，0)， D(－
，0， 0)．

由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴，故设点P(0，－
，t) (t＞0)．设m＝(x，y，z)为平面PDC的法向量，

由
＝(－
，－
，0)，
＝(－
，
，－t) 知

取y＝1，得

m＝(－2，1，
)．

又平面PAC的法向量为n＝(1，0，0)，于是

|cos< m，n>|＝
＝
＝
．

解得t＝
，即

AP＝
． ………… 15分

21．本题主要考查椭圆的定义、圆与圆的位置关系、点到直线距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。

(Ⅰ) 由|PE|＋|PF|＝4＞|EF|及椭圆定义知，点P的轨迹是以E，F为焦点，4为长轴长的椭圆．

设P(x，y)，则点P的轨迹方程为

＋y2＝1． ………… 6分

(Ⅱ) 设圆P与圆F的另一个公共点为T，并设P(x0，y0)，Q(x1，y1)，T(x2，y2)，则由题意知，圆P的方程为

(x－x0)2＋(y－y0)2＝x02＋y02．

又Q为圆P与圆F的一个公共点，故

所以

(x0－
) x1＋y0 y1－1＝0．

同理

(x0－
) x2＋y0 y2－1＝0．

因此直线QT的方程为

(x0－
)x＋y0y－1＝0．

连接PF交QT于H，则PF⊥QT．设|QH|＝d (d＞0)，则在直角△QHF中

|FH|＝
．

又
，故

|FH|＝
．

在直角△QHF中

d＝
．

所以点Q到直线PF的距离为1． ………… 15分

22．本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力。满分14分。

(Ⅰ) 由题意得

f ′(x)＝3ax2－6(m＋a)x＋12m＝3(x－2)(ax－2m)，

由于f (x)在(0，3)上无极值点，故
＝2，所以

m＝a． ………… 5分

(Ⅱ) 由于f ′(x)＝3(x－2)(ax－2m)， 故

(i) 当
≤0或
≥3，即m≤0或m≥
a时，

取x0＝2即满足题意．

此时m≤0或m≥
a．

(ii) 当0＜
＜2，即0＜m＜a时，列表如下:

x

0

(0，
)



(
，2)

2

(2，3)

3



f ′(x)



＋

0

－

0

＋





f (x)

1

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

9m＋1





故

f(2)≤f(0)　或　f (
)≥f(3)，

即

－4a＋12m＋1≤1　或　
＋1≥9m＋1，

即

3m≤a　或　
≥0，

即

m≤
或m≤0 或 m＝
．

此时0＜m≤
．

(iii) 当2＜
＜3，即a＜m＜
时，列表如下:

x

0

(0，2)

2

(2，
)



(
，3)

3



f ′(x)



＋

0

－

0

＋





f(x)

1

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

9m＋1





故

f(
)≤f(0)　或　f(2)≥f(3)，

即

＋1≤1　或　－4a＋12m＋1≥9m＋1，

即

≤0　或　3m≥4a，

即

m＝0　或　m≥3a　或　m≥
．

此时
≤m＜
．

综上所述, 实数m的取值范围是

m≤
或 m≥
． ………… 14分