中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试

数学试卷（文科）

本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．设复数
，
，则
在复平面内对应的点在( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设全集
是实数集

,
,则
（ ）

A．
B．

C．
D．

3．已知平面向量
，
，若
∥
，则

等于( )

A．
B．
C．
D．

4．已知数列
为等差数列，若
，
，则

A．36 B．42 C．45 D．63

5．在某次测量中得到的
样本数据如下:82, 84, 84, 86, 86, 86, 88, 88, 88, 88.若
样本数据恰好是
样本数据都加2后所得数据,则
,
两样本的下列数字特征对应相同的是（　 ）

A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差

6．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，
后，

就可以计算出A、B两点的距离为（ ）

A.
B．

C．
D．

7．如图，定义某种运算
，运算原理如右图所示，则

式子
的值为（ ）

A．11 B．13

C．8 D．4

8．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱

的三视图如下图所示，则该棱柱的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．6

9．已知函数

满足
，且
时，
，则当
时，
与
的图象的交点个数为( )

A．11 B．10 C．9 D．8

10．对
、
，运算“
”、“
”定义为：
=
，
=
，则下列各式其中不恒成立的是（ ）

⑴
⑵

⑶
⑷

A．⑴、⑶ B．⑵、⑷

C．⑴、⑵、⑶ D．⑴、⑵、⑶、⑷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。）

11.
.

12．已知函数
，则
.

13．若变量
满足线性约束条件
，则
的最大值为________．

14．已知函数
有3个零点，则实数
的取值范围是 .

三、解答题（ 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

15．（本题满分12分）

设平面向量
，
，函数
。

（Ⅰ）求函数
的值域和函数的单调递增区间;

（Ⅱ）当
,且
时,求
的值.

16．（本题满分12分）

某学校餐厅新推出A，B，C，D四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下. 为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：

（Ⅰ）若同学甲选择的是A款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；

（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面 谈，求这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率.

17．（本题满分14分）

如图所示，圆柱的高为2，底面半径为
,AE、DF是圆柱的两条母线，过
作圆柱的截面交下底面于
,四边形ABCD是正方形，EO⊥AB.

（Ⅰ）求证
；

（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD的体积.

18．（本小题满分14分）

数列{
}的前n项和为
，
．

（Ⅰ）设
，证明：数列
是等比数列；

（Ⅱ）求数列
的前
项和
；

19.（本小题满分14分）

已知函数
，.

（Ⅰ）若
，且对于任意
恒成立，试确定实数
的取值范围；

（Ⅱ）设函数
，

求证：

20. （本小题满分14分）

已知函数
，
，
，其中
，且
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的最大值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（III）设函数
若对任意给定的非零实数
，存在非零实数
（
），使得
成立，求实数
的取值范围.

中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试

数学试卷（文科）答案

本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

DAACD CBBCB

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

11.
; 12．
; 13.
; 14.

三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本题满分12分）

设平面向量
，
，函数
。

（Ⅰ）求函数
的值域和函数的单调递增区间;

（Ⅱ）当
,且
时,求
的值.

15．解： 依题意


………（2分）

………………………………………………（4分）

（Ⅰ） 函数
的值域是
；………………………………………………（5分）

令
，解得
………………（7分）

所以函数
的单调增区间为
.……………………（8分）

（Ⅱ）由
得
,

因为
所以
得
,………………………（10分）

……………………………………………………………………（12分）

16．（本题满分12分）

某学校餐厅新推出A，B，C，D四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下. 为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：

满意

一般

不满意



A套餐

50%

25%

25%



B套餐

80%

0

20%



C套餐

50%

50%

0



D套餐

40%

20%

40%



（Ⅰ）若同学甲选择的是A款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；

（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面 谈，求这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率.

解：（Ⅰ）由条形图可得，选择A，B，C，D四款套餐的学生共有200人，

其中选A款套餐的学生为40人，

由分层抽样可得从A款套餐问卷中抽取了
份. …………….（2分）

设事件
=“同学甲被选中进行问卷调查”，

则
. ……………………………………………………….（5分）

答：若甲选择的是A款套餐，甲被选中调查的概率是
. …………….（6分）

（II）由图表可知，选A，B，C，D四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5.

其中不满意的人数分别为1，1，0，2个 . ………………………….（7分）

记对A款套餐不满意的学生是a；对B款套餐不满意的学生是b；

对D款套餐不满意的学生是c，d. ………………………………………………….（8分）

设事件N=“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D款套餐”

从填写不满意的学生中选出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件，

而事件N有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件， ………………………（10分）

则
. ………………………………………………………（12分）

17．（本题满分14分）

如图所示，圆柱的高为2，底面半径为
,AE、DF是圆柱的两条母线，过
作圆柱的截面交下底面于
, 四边形ABCD是正方形.

（Ⅰ）求证
；

（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD的体积.

（Ⅰ）
AE是圆柱的母线，

下底面，又

下底面，

…………………………….3分

又
截面ABCD是正方形，所以
⊥
，又

⊥面
，又
面
，

……………………………（7分）

（Ⅱ）因为母线
垂直于底面，所以
是三棱锥
的高………………（8分），

由（Ⅰ）知
⊥面
，
面
，
面
⊥面
，

又
面

面

，
面
，

面
，即EO就是四棱锥
的高…………………（10分）

设正方形
的边长为
, 则
，

又

，


为直径，即

在
中，
, 即

， ……………………………………………………………（12分）

18.（本小题满分14分）

数列{
}的前n项和为
，
．

（I）设
，证明：数列
是等比数列；

（II）求数列
的前
项和
；

（Ⅲ）若
，
．求不超过
的最大整数的值。

18．【解析】(1) 因为
，

所以 ① 当
时，
，则
， ………………………………（2分）

② 当
时，
，…………………（4分）

所以
，即
，

所以
，而
， ……………………（6分）

所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，所以
．………（7分）

（2）由(1)得
．

所以 ①
，

②
， ……………（9分）

②-①得：
， ……………（12分）

. ………………（14分）

19．（本小题满分14分）

已知函数
，.

（I）若
，且对于任意
恒成立，试确定实数
的取值范围；

（II）设函数
，

求证：

19. 解:（Ⅰ）由
可知
是偶函数．

于是
对任意
成立等价于
对任意
成立．………（1分）

由
得
．

①当
时，
．

此时
在
上单调递增． 故
，符合题意．（3分）

②当
时，
．

当
变化时
的变化情况如下表： ………………………（4分）





















单调递减

极小值

单调递增



由此可得，在
上，
．

依题意，
，又
．

综合①，②得，实数
的取值范围是
． ……………………（7分）

（Ⅱ）
，