2013—2014学年高三第二次联考

仲元中学 中山一中 南海中学 潮阳一中 宝安中学 普宁二中 桂城中学

文 科 数 学

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.已知
（
为虚数单位），则复数
在复平面内所对应的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.如图为几何体的三
视图，根据三视图可以判断这个几何体为（ ）

A．圆锥 B．三棱锥

C．三棱柱 D．三棱台

3. 曲线
在点
处的切线的倾斜角为（ ）

A.45° B.60°
C.120° D.135°

4．抛物线
的焦点坐标是( )

A．
B．
C．
D．

5.已知集合
,

则图中阴影部分所表示的集合为 (　 )

A．
B．
C.
D.

6.在空间中，

表示直线，
表示平面，

则下列命题正确的是(
)

A.若
，则
B.若

，则

C.若
，则
D.若
，则

7. 某程序框图如右图所示，

该程序运行后输出的

的值是( )

A．
B．
C．
D．

8. 已知函数
，若实数
是

方程
的解，且
，则
的值( )

A．恒为负 B．等于零

C．恒为正 D．不大于零

9．如图已知圆的半径
为10，其内接三角形ABC的

内角A、B分别为60°和45°，现向圆内随机撒

一粒豆子，则豆子落在三角形ABC内的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

10.设函数
（
）的定义域为
，

其中
，且
在
上的最大值为
，最小值为
，

则
在
上的最大值与最小值的和是 ( )

A.
B. 9 C.
或9 D. 以上不对

二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．)

11.若实数
, 则目标函数
的最大值是

12.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个的样本个体的编号是 （下面摘取了随机数表第7行至第9行）

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29
78 64 56 07 82
52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79
54

13．将全
体正整数排成一个三角形数阵

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

…　…　…　…　…　…　…　…　…

根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是 。

14.（几何证明选讲选做题）如图，AB，CD是半径为
[来源:学科网ZXXK]

的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=
，

∠OAP=30°，则CP＝

15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系

中，曲线ρ=
?与
?的交点的极坐标为

三、解答题(本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演
算步骤．)

16.（本小题满分12分）

已知函数
，
．

（1）求函数
的最小正周期；

（2）若函数
在
处取得最大值，求
的值.

17. （本小题满分13分）

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次预赛成绩记录如下：

甲 82 82 79 95 87 乙 95 75 80 90 85

（1）用茎叶图表示这两组数据；

（2）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；

（3）①求甲、乙两人的成绩的平均数与方差，②若现要从中选派一人参加数学竞赛，根据你的计算结果，你认为选派哪位学生参加合适？

18．（本小题满分14分）

已知函数
，
，又
成等比数列．

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
．

19. （本小题满分14分） 如图，已知
⊙O所在的平面，
是⊙O的直径，
，C是⊙O上一点，且
，
与⊙O所在的平面成
角，
是
中点．F为PB中点．

(1)求证：
；

(2)求证：
；

(3)求三棱锥B-PAC的体积．[来源:Zxxk.Com]

20. （本小题满分13分）[来源:Zxxk.Com]

如图已知△OPQ的面积为S，且
.

（1）若
的取值范围；

（2）设
为中心，P为焦点的椭圆经过点Q，

当m≥2时，求

的最小值，并求出此时的椭圆方程.

21.（本小题满分14分）

已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn，n∈N*，其导函数记为
，且满足

，
，x1，x2为常数,x1≠x2．

(1)试求
的值；

(2)记函数

，x∈（0，e]，若F(x)的最小值为6，求实数b的值；

(3)对于(2)中的b，设函数
，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

2013—2014学年高三第二次联考文科数学参考答案

一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



B

C

A

A

B

D

A

A

B

C



二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．)

11.
12. 068 13.
14.
15.

三、解答题(本大题共6小题，满分80分．解答须
写出文字说明、证明过程和演算步骤．)

16．解：（1）
， ………………3分

的最小正周期为2
………………6分

（2）依题意，
（
）， ………………8分

由周期性，

……10分

……12分

17.解：（1）作出茎叶图如下； …………3分

（2）记甲被抽到的成绩为
，乙被抽到成绩为
，用数对
表示基本事件：

基本事件总数
……………………5分

记“
甲的成绩比乙高”为
事件A,事件A包含
的基本事件：

……………………6分

事件A包含的基本事件数
，所以
……………………7分

所以甲的成绩比乙高的概率为
………………8分

（3）①
，……………9分[来源:Zxxk.Com]

………………10分

………………11分

……12分

②
，
甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适。…………13分

18．解：（1）由题意，知：

，
即
………………2分[来源:学科网]

即
…………………3分

∵
, ∴
…………………4分

又
，所以

所以，
…………………6分

∴ 函数
的解析式为
…………………7分

（2）由（1）知：
．所以，数列
的前
项和

……8分

……10分

……12分

…………………14分

19.(1)证明：在三角形PBC中，
是

中点． F
为PB中点

所以 EF//BC，
……3分

所以
……4分

(2)

…6分 又
是⊙O的直径，所
以
…7分

因为

所以
……… 9分

因 EF//BC
，所以
…10分

（3）因
⊙O所在的平面，AC是PC在面ABC内的射影，

即为PC与面ABC所成角 ，
，PA=AC ………
12分

在
中，
是
中点，
……13分

…14分

20.解：（Ⅰ）设
的夹角为
，则
的夹角为
，…………1分[来源:学科网]

∵

……………………3分

又
∴
…………6分

（II）设
则
…………7分

[来源:学科网]

由

…………8分[来源:学|科|网]

…………9
分

上是增函数
上为增函数

当
时，
的最小值为
…………11分

此时P（2，0），椭圆的另一焦点为
，则椭圆长轴长

…………13分

21．解：（1）
，

， ………1分

依题意，
，得，
． ………4分

（2）

,
， ………5分

①若
，
，
在
上单调递减，

的最小值是
，由
得，
（舍去）； ………7分

②若
，
，令
得
，

当
时,
,
在
上单调递减;

当
时,
,
在
上单调递增; ………9分

所以
的最小值是
，由
得，
． ………10分

（3）
，结合图象猜测
．………11分

只需证
，∵
，故只需证
，[来源:Zxxk.Com]

即证：
，且
， ………12分

设
，
，当
时，
，[来源:学科网ZXXK]

∴
在
上是增
函数，
，∴
，而

即
， ………13分

设
，则
，当