2013～2014学年度　　　　　　　　　　　 高三第二次联考

理 科 数 学

命题人: 宝安中学 南海中学 钱

★祝同学们考试顺利★

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前,考生务必填写好答题卷上的有关项目.

　　2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卷的相应位置上.

　　3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集
,集合
和

关系的韦恩图如图所示,则阴影部分所示集合中的元素共有( )

A．
个 B．个 C．
个 D．无穷多个

2. 若复数
是纯虚数,则实数的值为( )

A． B． C．
D．或

3. 已知等差数列
的前项和为
,且
,
,则该数列的公差
( )

A． B．
C．
D．

4. 已知抛物线
(
)的准线与圆
相切,则的值为( )

A．
B． C． D．

5. 如图,矩形长为
,宽为,在矩形内随机地撒
颗黄豆,数得落

在椭圆外的黄豆数为
颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的

面积约为( )

A．
B.

C．
D.

6. 已知平面、
和直线,给出条件:①
；②
；③
；④
；⑤
.能推导出
的是( )

A．①④ B．①⑤ C．②⑤ D．③⑤

7. 若变量
满足约束条件
,则
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

8. 对任意实数
,定义运算
,其中
是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知
,
,并且有一个非零常数,使得
,都有
,则
的值是( )

A.
B. C.
D.

二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）

(一)必做题(9～13题)

9. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图
所示(均为直角三角形),则

该三棱锥的俯视图的面积为 .

10. 二项式
的展开式中常数项为_______.

11．不等式
的解集为___________．

12. 已知函数
,则
的值等于 .

13. 已知
的内角
的对边分别为
,且
,则
的面积等于________.

（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）

14.(坐标系与参数方程选做题) 若直线
与直线
垂直,则常数
．

15.(几何证明选讲选做题)如图,在
中,

,

,

若
,
,
,则
的长为________．

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．(本题满分12分)

设函数
,
．

(Ⅰ) 若
,求
的最大值及相应的的取值集合；

（Ⅱ）若
是
的一个零点,且
,求的值和
的最小正周期.

17．(本题满分12分)

某班有甲、乙两个学习小组,两组的人数如下:

甲

乙



男







女







现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取
名同学进行学业检测.

（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率；

（Ⅱ）记
为抽取的
名同学中男同学的人数,求随机变量
的分布列和数学期望.

18.(本题满分14分)

如图
,在四棱锥
中,底面
是边长为的正方形,侧面
底面
,且
,、分别为
、
的中点.

(Ⅰ) 求证:
平面
；

(Ⅱ) 求证:面
平面
；

(Ⅲ) 在线段
上是否存在点
,使得二面角
的余弦值为
?说明理由.

19.(本题满分14分)

已知
为数列
的前项和,且有
(
).

(Ⅰ) 求数列
的通项
；

(Ⅱ) 若
,求数列
的前项和
；

（Ⅲ）是否存在最小正整数,使得不等式
对任意正整数恒成立,若存在,求出的值；若不存在,说明理由.

20.(本题满分14分)

已知定点
,
,动点
,且满足
成等差数列.

(Ⅰ) 求点的轨迹
的方程；

(Ⅱ) 若曲线
的方程为
(
),过点
的直线与曲线
相切,求直线
被曲线
截得的线段长的最小值.

21.(本题满分14分)

已知函数
(其中
).

(Ⅰ) 若
为
的极值点,求的值；

(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式
；

(Ⅲ) 若函数
在区间
上单调递增,求实数的取值范围.

2013～2014学年度　　　　　　　　　　　 高三第二次联考

理 科 数 学 参考答案与评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

A

B

C

A

D

C

D



二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分

9．； 10．
； 11．
； 12．
； 13.
； 14．
； 15.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．【解析】(Ⅰ)
…………………………2分

当
时,
，

而
,所以
的最大值为
, …………………………4分

此时
,
,即
,
,

相应的的集合为
. …………………………6分

（Ⅱ）依题意
,即
,
,…………………………8分

整理,得
, …………………………9分

又
,所以
,
, …………………………10分

而
,所以
,
,所以
,
的最小正周期为.…………12分

17.【解析】(Ⅰ)依题意,甲、乙两组的学生人数之比为
，…………1分

所以,从甲组抽取的学生人数为
；从乙组抽取的学生人数为
．…………2分

设“从甲组抽取的同学中恰有名女同学”为事件，

则
，故从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率为
．………4分

（Ⅱ）
的所有可能取值为
,且 ………5分

，
，

，
．……………9分

所以,
的分布列为:
























．………12分

18.【解析】(Ⅰ)证明:连结
,
为正方形,

为
中点,为
中点.

所以在
中,
//
.……2分

又
平面
,
平面
,

所以
平面
……………3分

(Ⅱ)证明:因为平面
平面
, 平面

面

为正方形,
,
平面
,所以
平面
. ……………4分

又
平面
,所以
.

又
,所以
是等腰直角三角形,且
,即
.………5分

又
,且
、
面
,所以
面
.………6分

又
面
, 所以面
面
……………………7分

(Ⅲ) 如图,取
的中点
,连结
,
,因为
,所以
.

又侧面
底面
,平面
平面
, 所以
平面
,

而
分别为
的中点,所以
,又
是正方形,故
,

以
为原点,建立空间直角坐标系
如图所示, ……………………………………………8分

则有
,
,
,
,
,…………………………9分

若在
上存在点
使得二面角
的余弦值为
,连结
,设
,

则
,由(Ⅱ)知平面
的法向量为
,………………10分

设平面
的法向量为
.则
,即
,解得

令
,得
,……………………………………………………………………11分