理科数学参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1-5 BCDAC 6-10ADBAC 11-12DC

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

（13）9；（14）
；（15）4； （16）①②④

三、解答题：本大题共6小题，共74分.

(17)解：（Ⅰ）因为角
成等差数列，所以
，

因为
，所以
. ………2分

因为
，
，
,

所以
.

所以
或
(舍去)． …………6分

（Ⅱ）因为
，

所以

………………9分

因为
，所以
,

所以当
，即
时，有最大值
. 　　　……………12分

(18)解：（Ⅰ）因为
是奇函数，所以
， ………2分

即
所以
对一切
恒成立，

所以
. ……………6分

（Ⅱ）因为
，均有
即
成立，

所以
对
恒成立， ……………8分

所以
,

因为
在
上单调递增，所以
，

所以
. ……………12分

(19) （Ⅰ）证明：因为侧面
⊥底面
，
⊥
，所以
⊥底面
，所以
⊥
.又因为
＝
，即
⊥
，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则
，
，
，
，

所以

所以
，所以

由
⊥底面
，可得
,

又因为
，所以
⊥平面
. ……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面
的一个法向量为

，且
，
，所以
，又
，所以
，
. ……………7分

设平面
的法向量为
，

因为
，

由
，
，

得
，

令
，则可得平面
的一个法向量为

所以
， ……………10分

解得
或
，

又由题意知
，故
. ……………12分

(20) 解: （Ⅰ）设
分别为数列
的公差、数列
的公比．

由题意知，
，
，分别加上
得
,

又
，所以
，所以
，

所以
(
)，

由此可得

，
，所以
(
)． ……………6分

（Ⅱ）
①

∴
②

由①－②得

∴
, ……………10分

∴
.

∴使

恒成立的的最小值为.……12分

(21)解：（Ⅰ）
，直线
的斜率为
，

直线
的方程为

令
得

………3分

令
,得
,

的面积
, ………6分

（Ⅱ）
,

因为
,由
,得
, ………9分

当
时,
,

当
时,

.

已知在
处,
,故有
，

故当
时,
………13分

(22)解：（Ⅰ）
=
，所以，
,

因为
，
，所以
，令
，
，

所以
的单调递增区间是
；
的单调递减区间是
；………4分

（Ⅱ）若
在
是单调递增函数，则
恒成立，即
恒成立

即
，因为
，所以
. …………….7分

（Ⅲ）设数列
是公差为1首项为1的等差数列，所以
，
=1+
+…+
，

当
时，由（Ⅱ）知：
=
+
在
上为增函数，

=
-1，当
时，

，所以
+

，即

所以
;

令
，则有
，当
，有

则
,即
,所以
时,

所以不等式
成立.

令
且
时，

将所得各不等式相加，得

即

（
且
）． ……………13分