2014届皖南八校高三第二次联考

数学（理科）参考答案

选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题 号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答 案

A

C

B

A

A

D

B

C

D

C





二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．

12．

13．

14．

15． ②③⑤

三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16．（本题满分12分）已知
中，、
、是三个内角、、
的对边，关于的不等式
的解集是空集．

（Ⅰ）求角
的最大值；

（Ⅱ）若
，
的面积
，求角
取最大值时
的值．

解：（Ⅰ）显然
不合题意， 则
，

即
， 即
解得：

故角
的最大值为
． -------------------- 6分

（Ⅱ）当
=
时，
，∴
，

由余弦定理得：
，

∴
，∴
． -------------------- 12分

17．（本题满分12分）从正方体的各个表面上的12条面对角线中任取两条，设
为两条面对角线所成的角（用弧度制表示），如当两条面对角线垂直时，
．

（Ⅰ）求概率
；

（Ⅱ）求
的分布列，并求其数学期望
．

解：（Ⅰ）当ξ＝0时，即所选的两条面对角线平行．则P(ξ＝0)
=
．-------- 4分

（Ⅱ）ξ＝0，
；

P(ξ＝0)=
=
， P(ξ＝
)=
=
， P(ξ＝
)=
=
；

ξ

0







P











-------------------- 10分

Eξ＝
． -------------------- 12分

18．（本题满分12分）已知
是正方形，直线
⊥平面
，且
，

（Ⅰ）求二面角
的大小；

（Ⅱ）设为棱
的中点，在
的内部或边上

是否存在一点
，使
，若存在，

求出点
的位置，若不存在说明理由．

解：方法一：

（Ⅰ）因为
，
，

设平面
的法向量为
，则
，

令
，得
，同理得平面
的法向量为
，

所以其法向量的夹角为
，即二面角
为
．---------------- 6分

（Ⅱ）∵
，设
，（
，
，
），则
．

由
面
，得


．

∴存在点
（即棱
的的中点），使
面
．------------- 12分

方法二：

（Ⅰ）连结
交于，则
面
，

作
于
，连结
，则
就是

二面角
的平面角．

．
=
，

∴二面角
为
．

（Ⅱ）存在
的中点
，使
⊥平面
．

是△
中位线，
，而
面
，故
⊥平面
．

19．（本题满分13分）数列
：满足
，

（Ⅰ）设
，求证
是等比数列；

（Ⅱ）求数列
的通项公式；

（Ⅲ）设
，数列
的前项和为
，求证：
．

解：（Ⅰ）由
得
，

，即
，

∴
是以2为公比的等比数列； -------------------- 4分

（Ⅱ） 由
，
即
，

∴
-------------------- 8分

（Ⅲ）

　　　 ∴
． -------------------- 13分

20．（本题满分13分）

已知命题“若点
是圆
上一点，则过点
的圆的切线方程为
”．

（Ⅰ）根据上述命题类比：“若点
是椭圆
上一点，则过点
的切线方程为 ．”（写出直线的方程，不必证明）．

（Ⅱ）已知椭圆
：
的左焦点为
，且经过点（1，
）．

（ⅰ）求椭圆
的方程；

（ⅱ）过
的直线
交椭圆
于、两点，过点、分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．

解：（Ⅰ）
； -------------------- 3分

（Ⅱ）（ⅰ）
； -------------------- 7分

（ⅱ）当直线
的斜率存在时，设为
，直线
的方程为
，

设A
，B
，

则椭圆在点处的切线方程为：
①

椭圆在点的切线方程为：
②

联解方程① ②得：
，

即此时交点的轨迹方程：
． -------------------- 11分

当直线
的斜率不存在时，直线
的方程为
，

此时

，经过
两点的切线交点为

综上所述，切线的交点的轨迹方程为：
． -------------------- 13分

21．（本题满分13分）已知函数
，（
）

（Ⅰ）若
在定义域上单调递增，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若函数
有唯一零点，试求实数的取值范围．

解：（Ⅰ）
，

∴
，∴
，

∴
， -------------------- 2分

令
，则
有根：
，

，
，函数
单增；

，
，函数
单减； -------------------- 5分

∴
； -------------------- 6分

（Ⅱ）方法一：

由题
，即
有唯一正实数根；

令
，即函数
与函数
有唯一交点；----------- 9分

；

再令
，
，且易得
，

故，当
时，
，
，函数
单调递减；

当
时，
，
，函数
单调递增；

即
，

又当
时，
，

而当
时，
且
，

故满足条件的实数的取值范围为：
．

-------------------- 13分

方法二：

有唯一正实数根，

，记
；

（ⅰ）若
，
，即函数
在定义域上单调递增，

又
，
，即函数
有唯一零点；

（ⅱ）若
即
，则
，从而
，

又当
时，
，而当
时，
；

故函数
有唯一零点；

（ⅲ）若
，则
，但方程
的两根满足：

，即两根均小于0，

故
，从而
，

由（ⅱ）同理可知，仍满足题意；

（ⅳ）若
，同样
，则方程
的两根为：

，
（舍）；

当
时，
，故
在
为增函数，

当
时，
，故
在
为减函数，

故，当
时，
取得最大值
；

则
，即
，

所以
，即
；

令
，则
，即
为定义域上增函数，

又
，所以方程
有唯一解
，

故
，解得
；

综上，实数的取值范围为：
．