2013学年浙江省第一次五校联考

数学（理科）试题卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分, 考试时间120分钟。

选择题部分（共50分）

参考公式：

如果事件A, B互斥, 那么 棱柱的体积公式

P（A+B）=P（A）+ P（B） V=Sh

如果事件A, B相互
独立,
那么 其中S表示棱柱的底面积, h表示棱柱的高

P（A·B
）=P（A）· P（B） 棱锥的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么n V=
Sh

次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示棱锥的底面积, h表示棱锥的高

Pn（k）=C
pk （1－p）n-k （k = 0,1,2,…, n） 球的表面积公式

棱台的体积公式 S = 4πR2

球的体积公式

其中S1, S2分别表示棱台的上、下底面积, V=
πR3

h表示棱台的高 其中R表示球的半径

一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合
则
为（ 　 ）

A．
B．
C．
D．

2. “
”是“对任意实数
，
成立”的( )

A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

3． 函数y=
的图象的一条对称轴为( )

A．
B．
C．
D．

4. 在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
， 则ΔABC的形状是( )

A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

5．设等差数列
的前
项和为
，若
，且
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

6. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，并且两个奇数数字之间恰有一个偶数数字，这样的五位数有( )

A.12个 B.28个 C.36个 D.48个

7. 已知
，
满足
，且
的取值范围是
，则
（　 ）[来源:学+科+网Z+X+X+K]

A．1　　　　　 B．2
　　　 C．-1　　　
D．学科-2网

8. 已知
是单位圆上的两点，
为圆心，且

，
是圆
的一条直径，点
在圆内，且满足

，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知函数
的两个极值点分别为
，且
，点
表示的平面区域内存在点
满足
，则实数
的取值范围是（ 　）

A.

B.
C.
D.

10.
对任意实数
，
，不等式
恒成立，则实数
的最大值为（ ）

A.
B.
C.
D.

非选择题部分 （共100分）

二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。

11．若复数
为虚数单位）为纯虚数，

则
的值为___▲____

12．执行右图程序，其结果是____▲____

13.
若对任意的实数
，有

，

则
的值为____▲____ [来源:学科网]

14．在等比数列
中，若
，
，则
▲

15. 已知
，
，
，
， 若

，则
的最大值是 ▲

16. 设平面点集
其中
，
则
所表示的平面图形的面积为____▲____

17． 若实数
满足
，则
的取值范围是____▲____

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分14分）

已知函数
，其中
，
的最小正周期为
.

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）在
中， 角
的对边分别是
、
、
，且满足
，求函数
的取值范
围.

19．（本小题满分14分）

设向量
函数
.

（Ⅰ）若不等式
的解集为
，求不等式
的解集；

（Ⅱ）若函数
在区间
上有两个不同的零点， 求实数
的取值范围.

20．（本小题满分14分）

甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛: 第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空. 比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止. 设在每局中参赛者胜负的概率均为
， 且各局胜负相互独立. 求：

（Ⅰ）打满4局比赛还未停止的概率；

（Ⅱ）比赛停止时已打局数
的分布列与期望
.

21．（本小题满分14分）

正项数列
中，
，其前
项和
满足：
.

（Ⅰ）求
与
；

（Ⅱ）令
, 数列{
}的前
项和为
. 证明: 对于任意的
,都有
.

22．（本小题满分16分）

对于定义在
上的函数
，若存
在
，对任意的
，都有
或者
，则称
为函数
在区间
上的“下确界”或“
上确界”．

（Ⅰ）求函数
在
上的“下确界”；

（Ⅱ）若把“上确界”减去“下确界”的差称为函数
在
上的“极差
”， 试
求函数
在
上的“极差
”；

（Ⅲ）类比函数
的“极差
”的概念， 请求出
在
上的“极差
”．

2013学年浙江省第一次五校联考

数学（理科）参考答案

一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1. A 2．C
3. C 4．B 5
．A 6. B 7. D 8. C 9．B 10. D

二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。

11．
12．
13. -8 14．
15.
16.
17．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分14分）

解：

……………………………3分

（Ⅰ）
，
.

由
得：
.

的单调递增区间是
……………………………7分

（Ⅱ）由正弦定理：

，
， …………………………11分

，
，
. ………………………… 14分

19．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
，不等式
的解集为
，得
，于是
． …………………
…………3分

由
得，1-x2≤x2-3x+2，解得x≤
或x≥1，

所以，不等式
的解集为{x|x≤
或x≥1}． ………
……………………7分

（Ⅱ）
在区间
上有两个不同的零点，则

……………10分 即
得：
．

∴
的取值范围是
. ……………………………14分

20．（本小题满分14分）

解：令
分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.

（Ⅰ
）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满4局比赛还未停止的概率为
……………………6分 (各3分)[来源:Zxxk.Com]

（Ⅱ）
的所有可能值为2，3，4，5，6，且

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　
……………………11分

故分布列为

 2

 3

 4

 5

 6





P








[来源:Z_xx_k.Com]





　　　　　　　

.

……………………………14分

21．（本小题满分14分）

解: （Ⅰ）由
,得
.

由于
是正项数列,所以
.

于是，当
时,
.

所以
（
） ……………………………4分

又
，

综上,数列
的通项
.
……………………………7分

（Ⅱ）证明:由于
， ……………………………9分

则当
时，有
，

所以，当
时，有

[来源:学_科_网Z_X_X_K]

又
时，

所以，对于任意的
,都有
. …………………………14分

22．（本小题满分16分）

解：（Ⅰ） 令
，则
，

显然，
，列表有：

x

 0

 (0, x1)

x1

 (x1, 1)

 1







-

0

+









↘

 极小值

↗

 1



 所以，
在
上的“下确界”为
. ………………4分

（Ⅱ）①当
时，
，
，

极差

；

②当
时，
，
，

极差

；

③当
时，
，
，极差

；

④当
时，

，

极差

；

⑤当
时，
，
，极差

；

⑥当
时，
,
，

极差

.

综上所述：
………………10分（每一项得1分）

（Ⅲ） 因为