秘密★考试结束前【考试时间：2013年12月13日 9:00-11:00】

贵州省六校联盟2014届高三第一次联考试卷

数学（理）

本试题卷分第I卷(选择题)和第11卷(非选择题)两部分，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：

1.答题时，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目，在规定的位置贴好条形码。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。在本试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题共50分）

1.选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知两个集合
，
，则

(A)
(B)
(C)
(D)

（2）已知i是虚数单位，a，b∈R，且
，则a＋b＝

（A）1 （B）－1 （C）－2 （D）－3

（3）在等比数列
中，
则

() 3 ()
(
) 3或
()
或

（4）已知
、m是两条不同的直线，是个平面，则下列命题正确的是 （ ）

（A）若
//， //, 则
(B) 若
， //, 则

(C) 若
，,则
// (D) 若
//，,，则

（5）在
中，若2a2+an﹣5=0，则自然数n的值是

（A）10 (B)9

(C) 8 (D)7

（6）右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，

容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是

(A)



(B)



(C)



(D)





（7）右图中，
为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当
时，
等于

(A) 10

(B) 9

(C) 8

(D) 7

（8）函数
的图象在
处的切线与圆
相切，则
的最大值是( )

（A） 4 （B）
（C）
（D）2

（9）设x，y满足
时，则z=x+y既有最大值也有最小值，则实数a的取值范围是

(A)

a＜1

(B)

﹣
＜a＜1

(C)

0≤a＜1

(D)

a＜0



（10）函数
的零点个数为（ ）

（A）2 （B）3 （C） 4 （D）1

（11）已知F1，F2分别是双曲线
的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2

为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是

(A)



(B)



(C)



(D)

（2，+∞）





（12）给出定义:若
(其中为整数),则叫做与实数 “亲密的整数”,

记作
,在此基础上给出下列关于函数
的四个命题:①函数
在

上是增函数;②函数
的图象关于直线
对称;③函数

是周期函数,最小正周期为1;④当
时，函数
有两个零点. 其中

正确命题的序号是____________.

(A) ②③④ (B) ①③ (C) ①② (D) ②④

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知向量
，
，且
满足
，则实数
_______．

（14）如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲y=x2和曲线y=
围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是 .

（15）已知角
构成公差为
的等差数列.若
， 则:
=______

（16）已知
，各项均为正数的数列
满足
，若
，则
.

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
=（
，1），
=（
，
）且
∥
．

（Ⅰ）求sin A的值；

（Ⅱ）求三角函数式
的取值范围．

（18）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，

，
为
的中点.

（Ⅰ）若
，求证：平面
平面
；

（Ⅱ）点
在线段
上，
，若平面
平面ABCD，

且
，求二面角
的大小.

（19）（本小题满分12分）

某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800

名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有

60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人。

（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？

（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校高二年纪学生成绩中，有放回地随机抽

取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X，

求X的分布列和期望
。

0．010

0．005

0．001





6．635

7．879

10．828



附：

(20)(本小题满分12分)

已知点M是椭圆C：
=1(a>b>0)上一点，F1、F2分别为C的左、右焦点，|F1F2|=4，

∠F1MF2 =60o， F1 MF2的面积为
（I）求椭圆C的方程； ( II)设N(0，2)，过点

p（-1，-2）作直线l，交椭圆C异于N的A、B两点，直线NA、NB的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k2为定值．

（21）（本小题满分12分）

已知函数
（
）.（Ⅰ）当
时，求
的图象在
处的切线方程；（Ⅱ）若函数
在
上有两个零点，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若函数
的图象与轴有两个不同的交点
，且
，

求证：
（其中
是
的导函数）．

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲

如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。

（Ⅰ）若
，求CD的长；

（Ⅱ）若 ∠ADO ：∠EDO＝4 ：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。

（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程

在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

,过点P(-2,-4)的直线
为参数)与曲线C相交于点M,N两点.

(Ⅰ)求曲线C和直线
的普通方程;

(Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN |成等比数列,求实数a的值

24（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲

已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：

(Ⅰ)＋＋≥8；

(Ⅱ) ≥9.

贵州省六校联盟2014届高三第一次联考试卷

理科数学参考答案

BDCD CBAC BADA

(13)
(14) 1/3 (15) -2/3 (16)
(可不化简)

(17)

解：（I）∵
，∴
，根据正弦定理，得
，

又
， ...........3分

，
，
，

又

；sinA=
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

（II）原式
，

， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分

∵
，∴
，∴
，

∴
，∴
的值域是
......。。。。12分

(19) （Ⅰ）由题意得列联表：

语文优秀

语文不优秀

总计



外语优秀

60

100

160



外语不优秀

140

500

640



总计

200

600

800



因为K2＝≈16.667＞10.828，

所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系． …5分

（Ⅱ）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是．

则X～B(3， )，P(X＝k)＝C()k()8－k，k＝0，1，2，3．

X的分布列为

X

0

1

2

3





p









…10分



E(X)＝3×＝． …12分

(21) （Ⅰ）当
时，
，
，切点坐标为
，

切线的斜率
，则切线方程为
，即
. 2分

（Ⅱ）
，则
，

∵
，故
时，
.当
时，
；当
时，
.

故
在
处取得极大值
. 4分

又
，
，
，则
，

∴
在
上的最小值是
. 6分

在
上有两个零点的条件是
解得
，

∴实数的取值范围是
. 8分

（Ⅲ）∵
的图象与轴交于两个不同的点
，

∴方程
的两个根为
，则
两式相减得
.又
，
，则

.

下证
（*），即证明
，
，

∵
，∴
，即证明
在
上恒成立. 10分

∵
，又
，∴
，

∴
在
上是增函数，则
，从而知
，

故（*）式＜0，即
成立………….12分

22．（1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5

所以∠ADB＝90°，AB＝10

在Rt△ABD中，

又
，所以
，

所以
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

因为∠ADB＝90°，AB⊥CD

所以

所以

所以
， 所以
。。。。。。。。。5分

（2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD， 所以
， 所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD. 因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO, 所以∠CDB＝∠ADO。。。。。。2分

设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x. 由∠ADO ：∠EDO＝4 ：1，则∠EDO＝x.

因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90°,所以
, 所以x＝10°

所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°

所以∠AOC＝∠AOD＝100°,故
。。。。。。。。。5分

23

24【答案】证明　(1)∵a＋b＝1，a>0，b>0，

∴＋＋＝＋＋＝2。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

＝2＝2＋4

≥4＋4＝8.

∴＋＋≥8. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

(2)∵＝＋＋＋1，

由(1)知＋＋≥8. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

∴≥9.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分