2013年下期五市十校高三联考试卷

数学（理科）

时量 120分钟 满分 150分

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知命题
，则（ ）

A．

B．




C．

D．




2．函数
的零点所在的区间是（ ）

A．

B．



C．

D．



3．由曲线
，直线
，
所围成的平面图形的面积为（ ）

A．

B．

C．

D．



4．已知的三个内角
所对边长分别为
，向量
，

，若∥，则（ ）

A．

B．

C．

D．




5．若
（
为常数）的最大值是
，最小值是
，则
的值为（ ）

A．

B．
或

C．

D．



6．等比数列
各项为正，
成等差数列，
为
的前项和，则
（ ）

A．

B．

C．

D．



7．在
中，
分别是角
所对边的边长，若
，

则
的值是（ ）

A．

B．

C．

D．



8．已知函数
满足
，当
时，
，若在区间
内，函数
与轴有
个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）

A．

B．

C．

D．





二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分）

9．如果
，那么
的值是_________．

10．若不等式
对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围是__________．

11．曲线
在点
处的切线方程为________．

12．如图，在
中，、分别为边
、
的中点．为边
上的点，且
，若
，
，则
的值为 ．

13．下列命题：

①函数
在
上是减函数；

②点
在直线
两侧；

③数列
为递减的等差数列，
，设数列
的前n项和为
，则当
时，
取得最大值；

④定义运算

， 则函数

的图象在点
处的切线方程是
其中正确命题的序号是_______________（把所有正确命题的序号都写上）．

14．点
是不等式组
表示的平面区域内的一动点，使
的值取得最小的点为
，则
（
为坐标原点）的取值范围是____________．

15．已知两个正数
，可按规则
扩充为一个新数，在
三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若
，经过6次操作后扩充所得的数为
（
为正整数），则
的值为 ．

三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）

已知函数
．

（I）求函数
的单调增区间；

（II）将函数
的图象向右平移（
）个单位，再将图象上所有的点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍，得到函数
的图象．若直线
是函数
的图象的对称轴，求的值．

17．（本小题满分12分）

已知
是直线
上的不同三点，
是
外一点，向量
满足

，记
．

（I）求函数
的解析式；

（II）求函数
的单调区间．

18．（本小题满分12分）

已知向量
，
，函数
．

（I）求
的最大值，并求取最大值时的取值集合；

（II）已知
分别为
内角
的对边，且
成等比数列，角为锐角，且
，求
的值．

19．（本小题满分13分）

学校餐厅每天有500名学生就餐，每星期一有A，B两种套餐可选，每个学生任选一种，其中A是本校的传统套餐，B是从外校引人的套餐．调查资料表明，若在这星期一选A套餐的学生，下星期一会有
的学生改选B套餐；而选B套餐的学生，下周星期一会有（
）的学生改选A套餐，用
，
分别表示在第个星期选A套餐的人数和选B套餐的人数．

（I）用
表示
；

（II）若
，且选A套餐的学生人数保持不变，求
；

（III）根据调查，存在一个常数
，使得数列
为等比数列，且
，求的取值范围．

20．（本小题满分13分）

已知数列
的前项和为
，通项为
，且满足
（是常数且
）．

（I）求数列
的通项公式；

（II） 当
时，试证明
；

（III）设函数
，
，是否存在正整数，使
对
都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分13分）

设函数
，若
在点
处的切线斜率为．

（Ⅰ）用表示
；

（Ⅱ）设
，若
对定义域内的恒成立，

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）对任意的
，证明：
．

2013年下期五市十校高三联考试卷

一、选择题：

AADB BCBC

二、填空题

9、
10、
11、
12、
13、②④ 14、
15、

三、解答题

16．解：（I）
1分

2分

令
，
， 3分

得
，
4分

所以函数
在每一个
区间是增函数． 5分

（II）将函数
的图象向右平移个单位，得到函数

的图象． 6分

将函数
图象上所有的点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍，得到函数
的图象． 8分

因为直线
是函数
的图象的对称轴，

所以
，得
10分

得
， 11分

取
，得
． 12分

17．解：（I）∵
，且
是直线
上的不同三点，

∴
， ∴
； 6分

（II）∵
，∴
，

∵
的定义域为
，而
在
上恒正，

∴
在
上为增函数，

即
的单调增区间为
． 12分

18．解：（I）
=

=
﹣2

=
=

=
．

故f（x）max=1，此时
，得
．

所以取得最大值的x的集合为{x|
}． 6分

（II）由f（B）=
，

又∵0＜B＜
，∴
．

∴
，∴
．

由a，b，c成等比数列，则b2=ac，∴sin2B=sinAsinC．

∴
=

=
． 12分

19．解：（I）由已知得
，所以
，

得
． 4分

（II）
，

． 8分

（III）
是等比数列，

，得
，

，得
， 11分

，
，

． 13分

20．解：（I）由题意，
，得

∴
…1分

当
时，
，

∴