株洲市二中2014届高三第四次月考

数学（文科）试题

命题：高三文科数学备课组 时量：120分钟 分值：150分

一、选择题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合P=｛x︱x2≤1｝，M=
．若P∪M=P，则
的取值范围是（ ）

A. (
∞,
1] B. [1, +∞） C. [
1，1] D.（-∞，
1] ∪[1，+∞）

2．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）

A. k＞4? B. k＞5? C. k＞6? D. k＞7?

3．曲线
+

的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．2

4．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男

女

总计



爱好

40

20

60



不爱好

20

30

50



总计

60

50

110



由

附表：

0．050

0．010

0．001





3．841

6．635

10．828



参照附表，得到的正确结论是（ ）

有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

5．若
,
是非零向量，“
⊥
”是“函数
为一次函数”的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．
　 B．
　　　 C．
　　　 D． 1

7．设函数
是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为( )

A．(-∞，2) B．(-∞，
] C．(0,2) D．[
,2)

8．设
，且实数x、y满足条件
则
的最大值是（ ）

A．
B．3 C．4 D．5

9．已知直线
与圆
及抛物线
依次

交于
四点，则
等于 （ ）

A.10 B.12 C.14 D.16

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。

10．复数
的模等于__________；

11．已知向量
，
满足
，
，
与
的夹角为120°，则
；

12．已知
是第二象限角，且sin(
，则tan2
的值为 ；

13．若命题“
”是假命题，则m的取值范围是________ _ ；

14．在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
．在极坐标系（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴）中，直线
的方程为
则
与
的交点个数为 ；

15．数列
的前n项和为
，若数列
的各项按如下规律排列：

有如下运算和结论：

①

②数列
是等比数列；

③数列
的前n项和为

④若存在正整数k，使

其中正确的结论有 （填写序号）。

三、解答题。共6小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（本小题满分12分）已知函数
。

（1）求
的最小正周期；

（2）求
在区间
上的最大值和最小值以及相应的
的值。

17．（本小题满分12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分。用xn表示编号为n（n=1,2,…,6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号n

1

2

3

4

5



成绩xn

70

76

72

70

72



（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；

（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率。

18．（本题满分12分）如图，三棱柱
的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点.

（1）求证：平面

平面
；　　　　　　　　　　　　

（2）求直线
与平面
所成的角的正弦值.

19．（本小题满分13分）已知曲线
上有一点列
，点
在x轴上的射影是
，且
，
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设梯形
的面积是
，求证：
．

20．（本题满分13分）已知椭圆
：

离心率为
，且曲线上的一动点
到右焦点的最短距离为
。

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
(
，
)的动直线
交椭圆
于
、
两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点
，使得无论
如何转动，以

为直径的圆恒过定点
？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（本题满分13分）已知

（1）若
，
时，求证：
对于
恒成立；

（2）若
，且
存在单调递减区间，求
的取值范围；

（3）利用（1）的结论证明：若
，则
．

株洲市二中2014届第四次月考数学（文）答卷

时量：120分钟 分值：150分

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9



答案























二、填空题：

10、 ；11、 ；12、 ；

13、 ；14、 ；15、 .

三、解答题：

16、（本题满分12分）





17、（本题满分12分）



18、（本题满分12分）





19、（本题满分13分）



20、（本题满分13分）





21、（本题满分13分）





株洲市二中2014届高三第四次月考数学（文科）

答案

一、选择题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是（ C ）

A.(-∞, -1] B.[1, +∞） C.[-1，1] D.（-∞，-1] ∪[1，+∞）

2．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ A ）

A. k＞4? B.k＞5? C. k＞6? D.k＞7?

3．曲线
+

的离心率为 （ B ）

A．
B．
C．
D．2

4．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男

女

总计



爱好

40

20

60



不爱好

20

30

50



总计

60

50

110



由

附表：

0．050

0．010

0．001





3．841

6．635

10．828



参照附表，得到的正确结论是（ A ）

有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

5．若
,
是非零向量，“
⊥
”是“函数
为一次函数”的（ B ）

A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ D ）

A．
　 B．
　　　 C．
　　　 D． 1

7．设函数
是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为( B )

A．(-∞，2) B．(-∞，
] C．(0,2) D．[
,2)

8．设
，且实数x、y满足条件
则
的最大值是（ D ）

A．
B．3 C．4 D．5

9．已知直线
与圆
及抛物线
依次

交于
四点，则
等于 （ C ）

A.10 B.12 C.14 D.16

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。

10．复数
的模等于__________。

11．已知向量
，
满足
，
，
与
的夹角为120°，则

。

12．已知
是第二象限角，且sin(
，则tan2
的值为

13．若命题“
”是假命题，则m的取值范围是___.m>1______

14．在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
．在极坐标系（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴）中，直线
的方程为
则
与
的交点个数为 2 ．

15．数列
的前n项和为
，若数列
的各项按如下规律排列：

有如下运算和结论：

①

②数列
是等比数列；

③数列
的前n项和为

④若存在正整数k，使

其中正确的结论有 ①③④ （填写序号）。

三、解答题。共6小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（本小题满分12分）已知函数
。

（1）求
的最小正周期；

（2）求
在区间
上的最大值和最小值以及相应的
的值。

解：（1）因为

所以
的最小正周期为
…………6分

（2）因为
,所以

于是，当
，即
时，
取得最大值2；…………9分

当
，即
时，
取得最小值—1. …………12分

17．（本小题满分12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分。用xn表示编号为n（n=1,2,…,6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号n

1

2

3

4

5



成绩xn

70

76

72

70

72



（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；

（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率。

解：（1）

………………3分

，
………………6分

（2）从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：

{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，…………9分

选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法：

{1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，故所求概率为
………………12分

18．（本题满分12分）如图，三棱柱
的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点.

（1）求证：平面

平面
；　　　　　　　　　　　　

（2）求直线
与平面
所成的角的正弦值.

解：（1）
正三棱住
，


底面ABC，又
BD
AC，

,

平面
,又

平面
D

平面
D
平面
……………………6分

（2）作AM

，M为垂足，由（1）知AM
平面
，设
与
相交于点P，连接MP，则
就是直线
与平面
D所成的角，………………9分

=
，AD=1，
在Rt

D中，
=
，

，
，

直线
与平面
D所成的角的正弦值为
分……………………12分.

19．（本小题满分13分）已知曲线
上有一点列
，点
在x轴上的射影是
，且
，
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设梯形
的面积是
，求证：
．

解：（1）由
得
…………2分

∵
， ∴
，

故
是公比为2的等比数列………………………4分

， ∴
…………….…………6分

（2）∵
，

∴
, 而
，…………….…………8分

∴四边形
的面积为：

.…………10分

∴
,

故
.…………….…………13分

20．（本题满分13分）已知椭圆
：

离心率为
，且曲线上的一动点
到右焦点的最短距离为
。

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
(
，
)的动直线
交椭圆
于
、
两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点
，使得无论
如何转动，以

为直径的圆恒过定点
？