株洲市二中2014届高三第4次月考

理科数学试题

命题人：高三理科数学备课组

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1、若
则
的值是 ( )

A. 1 B. 0 C.
D.

2、函数
的定义域是( )　

　 A.
　 B.
C.
D.

3、全集
且
则
（ ）

A．
B.
C.
D.

4、设等差数列
的前项和为
，若
，
，则
等于( )

A、180 B、90 C、72 D、100

5、给定性质: ①最小正周期为π；②图象关于直线x=
对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是（ ）

A．y = sin(2x－
) B．y = sin(
+
) C．y = sin(2x+
) D．y = sin|x|

6、已知，
，且
成等比数列，则
有( )

A、最小值
B、最小值
C、最大值
D、最大值

7、已知
、
为非零向量，则“


”是“函数
为一次函数”的( )

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

8.设P是△ABC内任意一点,S△ABC表示△ABC的面积,
,
,
,定义f (P)=( λ1, λ2, λ3), 若G是△ABC的重心，f (Q)＝(
,
,
), 则( )

A.点Q在△GAB内　 B.点Q在△GBC内　

C.点Q在△GCA内　 D.点Q与点G重合

二、填空题（本大题共7小题，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上。）

9、计算
的值等于 ．

10、不等式
的解集为 ．

11、若实数
、
，满足
，则
的取值范围是 ．

12、一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ．

13、已知F1、F2分别是双曲线
的左、右焦点，点P是双曲线上的点，且|P F1|=3，则|PF2|的值为 .

14、形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为 ．

15、对一个边长互不相等的凸
边形的边染色，每条边可以

染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．

所有不同的染色方法记为
,则
．

三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16、（本小题满分12分）

在△ABC中，已知AB＝
，BC＝1，cosC＝
.

（Ⅰ）求sinA的值；

（Ⅱ）求
的值.

17、某研究小组在电脑上进行人工降雨摸拟试验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下：

方式

实施地点

大雨

中雨

小雨

摸拟试验总次数



A

甲

4次

6次

2次

12次



B

乙

3次

6次

3次

12次



C

丙

2次

2次

8次

12次



 假设甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响．

（1）求甲、乙两地恰为中雨且丙地为小雨的概率；

（2）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即能达到理想状态，乙地必须是大雨才能达到理想状态，丙地只要是小雨或中雨就能达到理想状态，求降雨量达到理想状态的地方个数的概率分布与期望．

18、（本小题满分12分）

如图，四棱锥P--ABCD中，PB
底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB=AD=PB=3，BC=6．点E在棱PA上，且PE=2EA.

(1)求异面直线PA与CD所成的角；

(2)求证：PC∥平面EBD；

(3)求二面角A—BE--D的余弦值．

19、（本小题满分13分）

设向量a＝(x＋1，y)，b＝(x－1，y)，点P(x，y)为动点，已知|a|＋|b|＝4.

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）设点P的轨迹与x轴负半轴交于点A，过点F(1，0)的直线交点P的轨迹于B、C两点，试推断△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由.

20、（本小题满分13分）

在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线的变化情况来决定买入或卖出股票。股民老张在研究股票的走势图时，发现一只股票的均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系
，则股价
（元）和时间
的关系在
段可近似地用解析式
来描述，从
点走到今天的
点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且
点和
点正好关于直线
：
对称。老张预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里
段与
段关于直线
对称，
段是股价延续
段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点
。现在老张决定取点

，点
，点
来确定解析式中的常数
，
，
，
，并且求得
。

（1）请你帮老张算出
，
，
，并回答股价什么时候

见顶（即求
点的横坐标）

（2）老张如能在今天以
点处的价格买入该股票3000股， 到见顶处
点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？

21、（本小题满分13分）

已知函数
。（
为常数，
）

（1）若
是函数
的一个极值点，求
的值；

（2）求证：当
时，
在
上是增函数；

（3）若对任意的
，总存在
，使不等式
成立，求实数
的取值范围。

株洲市二中2014届高三第4次月考

数 学 答 卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分共40分）

题次

1

2

3

4

5

6

7

8



答案





















二、 填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分共35分）

9． ；10． ；

11． ；12． ；

13． ；14． ；

15． ．

三、解答题（本大题共6小题，满分共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）





17．（本小题满分12分）





18．（本小题满分12分）





19．（本小题满分13分）





20．（本小题满分13分）





21．（本小题满分13分）





株洲市二中2014届高三第4次月考

理科数学试题参考答案

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1、若
则
的值是 ( B )

A. 1 B. 0 C.
D.

2、函数
的定义域是( B )　

　 A.
　 B.
C.
D.

3、全集
且
则
（ C ）

A．
B.
C.
D.

4、设等差数列
的前项和为
，若
，
，则
等于( B )

A、180 B、90 C、72 D、100

5、给定性质: ①最小正周期为π；②图象关于直线x=
对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是（ A ）

A．y = sin(2x－
) B．y = sin(
+
) C．y = sin(2x+
) D．y = sin|x|

6、已知，
，且
成等比数列，则
有( A )

A、最小值
B、最小值
C、最大值
D、最大值

7、已知
、
为非零向量，则“


”是“函数
为一次函数”的( B )

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

8.设P是△ABC内任意一点,S△ABC表示△ABC的面积,
,
,
,定义f (P)=( λ1, λ2, λ3), 若G是△ABC的重心，f (Q)＝(
,
,
), 则( B )

A.点Q在△GAB内　 B.点Q在△GBC内　

C.点Q在△GCA内　 D.点Q与点G重合

二、填空题（本大题共7小题，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上。）

9、计算
的值等于 2 ．

10、不等式
的解集为
．

11、若实数
、
，满足
，则
的取值范围是
．

12、一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为200＋9π．

13、已知F1、F2分别是双曲线
的左、右焦点，点P是双曲线上的点，且|P F1|=3，则|PF2|的值为 7 .

14、形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为
．

15、对一个边长互不相等的凸
边形的边染色，每条边可以

染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．

所有不同的染色方法记为
,则

．

三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16、（本小题满分12分）

在△ABC中，已知AB＝
，BC＝1，cosC＝
.

（Ⅰ）求sinA的值；

（Ⅱ）求
的值.

17、某研究小组在电脑上进行人工降雨摸拟试验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下：

方式

实施地点

大雨

中雨

小雨

摸拟试验总次数



A

甲

4次

6次

2次

12次



B

乙

3次

6次

3次

12次



C

丙

2次

2次

8次

12次



 假设甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响．

（1）求甲、乙两地恰为中雨且丙地为小雨的概率；

（2）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即能达到理想状态，乙地必须是大雨才能达到理想状态，丙地只要是小雨或中雨就能达到理想状态，求降雨量达到理想状态的地方个数的概率分布与期望．

0

1

2

3



P













18、（本小题满分12分）

如图，四棱锥P--ABCD中，PB
底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB=AD=PB=3，BC=6．点E在棱PA上，且PE=2EA.

(1)求异面直线PA与CD所成的角；

(2)求证：PC∥平面EBD；

(3)求二面角A—BE--D的余弦值．

19、（本小题满分13分）

设向量a＝(x＋1，y)，b＝(x－1，y)，点P(x，y)为动点，已知|a|＋|b|＝4.

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）设点P的轨迹与x轴负半轴交于点A，过点F(1，0)的直线交点P的轨迹于B、C两点，试推断△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由.

20、（本小题满分13分）

在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线的变化情况来决定买入或卖出股票。股民老张在研究股票的走势图时，发现一只股票的均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系
，则股价
（元）和时间
的关系在
段可近似地用解析式
来描述，从
点走到今天的
点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且
点和
点正好关于直线
：
对称。老张预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里
段与
段关于直线
对称，
段是股价延续
段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点
。现在老张决定取点

，点
，点
来确定解析式中的常数
，
，
，
，并且求得
。

（1）请你帮老张算出
，
，
，并回答股价什么时候

见顶（即求
点的横坐标）

（2）老张如能在今天以
点处的价格买入该股票3000股， 到见顶处
点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？

解：（1）
、
关于直线
对称
点坐标为
即

把
、
、
的坐标代入解析式，得

②─①得，

③─①得，

，

代入②，得

再由①得，