湖南省桑植一中皇仓中学2014届高三第二次联考（10月）数学试卷（理科）

时量：120分钟 满分：150分

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

⒈ 已知
，其中
是实数，i是虚数单位，则
i（ ）

A．
i B．
i C．
i D．
i

⒉ 已知向量
，
.若
，则实数的

值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

⒊ 若函数
是偶函数，且当
时，
则不等式
的

解集是（ ）

A．
B．

C．
D．

⒋ 如果执行右面的程序框图，输入正整数
，满足n≥m，

那么输出的P等于（ ）

A．
B．
C．
D．

⒌ 数列
的前n项和为
,
，
则数列
的前50项的和为 （ ）

A．49 B．50 C．99 D．100

⒍ 已知
，且
，若
恒成立，则实数的值取值范围是（ ）

A．
或
B．
或
l

C．
D．

⒎ 已知双曲线
的一条渐近线方程是y=
,它的一个焦点在抛物线
的准线上，则双曲线的方程为 （ ）

A．
B．

C．
D．

⒏ 设点在曲线
上，点
在曲线
上，则
的最小值是 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分. 把答案填在题中的横线上）

（一）选做题（9－11题，考生只能从中选做两题；三道题都做的，只记前两题的分）

9．极坐标系中，曲线
和
相交于
两点，则

⒑ 若不等式
对一切非零实数恒成立，则实数的取值范围是

⒒如图所示,圆
是
的外接圆,过点
的切线交
的延长线于点,

,
,则
的长为__________.

（二）必做题（12－16题）

⒓ 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为___________.

⒔ 函数
在点
处的切线与函数
围成的封闭图形的面积等于_________.

⒕ 已知等式
对
恒成立，写出所有满足题设的数对
: .

⒖ 2个好朋友一起去一家公司应聘，公司人事主管通知他们面试时间时说：“我们公司要从面试的人中招3个人，你们都被招聘进来的概率是
”.根据他的话可推断去面试的人有__ _个（用数字作答）

⒗ 已知M是集合
的非空子集，且当
时，有
.记满足条件的集合M的个数为
，则
；

三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）

⒗　(本题满分12分)

甲、乙、丙三人商量周末去玩，甲提议去爬山，乙提议去河边钓鱼，丙表示随意。最终，商定以抛硬币的方式决定结果。规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议.

记所需抛币次数为
.

⑴求
的概率；

⑵求
的分布列和期望.

⒘（本题满分12分）

如图,已知四棱锥
的底面为菱形,且

(1)求证:平面
平面
；

(2)求二面角
的余弦值。

⒙（本题满分12分）

某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为
，半径为（米）的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托
，所在圆的圆心都是
、半径都是（米）、圆弧的圆心角都是
（弧度）；灯杆
垂直于地面，杆顶到地面的距离为
（米），且
；灯脚
，
，
，
是正四棱锥
的四条侧棱，正方形
的外接圆半径为（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为
（弧度）．已知灯杆、灯脚的造价都是每米 (元)，灯托造价是每米
(元)，其中，
，都为常数．设该灯架的总造价为 (元) ．

（1）求关于
的函数关系式；

（2）当
取何值时，取得最小值？

19．本题满分13分）

如图，已知椭圆的中心是原点
，其右焦点为
，过轴上一点
作直线
与椭圆相交于
两点，且
的最大值为
。

（1）求椭圆的方程；

（2）设
，过点且平行于轴的直线与椭圆相交于另一点
，试问
是否共线，若共线请证明；反之说明理由。

20．(本题满分13分）

已知函数
。

（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）若
有两个极值点
，求实数的取值范围；

（3）若当
时，不等式
恒成立，求实数的最大值。

21．（本题满分13分）

设数列
的各项均为正数，其前项的和为
，对于任意正整数，，
恒成立．

（1）若
，求
，
，
及数列
的通项公式；

（2）若
，求证：数列
成等比数列．

桑植一中、皇仓中学2014届高三联考（１０月）

理科数学参考答案

时量：120分钟 满分：150分

一、选择题

C A B D A D B C

二、填空题

9．
⒑
⒒
⒓
⒔
⒕ (1,0)

⒖ 21 ⒗ 3

三、解答题

⒗　(本题满分12分)

16.解:(1)
………………………4分

(2)由题意可知
的可能取值为：
，其分布列为:























 ……………………10分

∴
………………………12分

⒘（本题满分12分）

解:(1)证明:取
的中点
,连接

为等腰直角三角形

又

是等边三角形

,又

∵
平面
,又
平面
,∴平面
平面
。…………6分

(2)以
为坐标原点,建立如图空间直角坐标系则
,

,
=

设平面
的法向量为
,则
,即
,令
，得
，
，从而有
。

同理求得平面
的一个法向量为

,所以二面角
的余弦值为
…………12分

⒙（本题满分12分）

解：（1）延长
与地面交于
，由题意：
，且
，从而
则
………6分

（2）
，设
，

求导得
，

解得：
.

当
时，
；
时，
；

设
，其中
，
，从而
，所以
时，最小。

答：当
时，灯架造价取得最小值。…………12分

⒚（本题满分13分）

解：（1）由题意可知：
，则
，
，从而
，故所求椭圆的方程为
．…………5分

（2）解：
是否共线。

证明：
，由已知得方程组

注意到
，解得
，因为
，所以

，

又

，所以
，从而三点共线。…………12分

⒛(本题满分13分）

解：（1）由题意得，当
时，
，所以
，则切线的斜率为
，又因为
，所以所求切线方程为：
。…………3分

（2）解法一：求导得
，由方程
可得
，显然
（否则等式不成立），从而
，令
，则要使得
有两个极值点
，只需
和
有两个交点即可。由
求导得：
，由
可得：
。即
在

上为减函数，在
为增函数。又
，又当
时，
，当
时，
。其简图如右，从而可知
。…………8分

解法二：设
，由题意得
是方程
的两个实根。求导得
。

当
时，
在定义域上递减，即方程
不可能有两个实根；

当
时，由
，得
，

当
时，
，则
在定义域
上递增，当
时，
，则
在定义域
上递减；所以
，

因为方程
有两个实根，所以
，解得
，即
。………8分

（3）设
，则由题意得
在