湖南省“五市十校”2014届高三12月联合检测

数学（文科）

时量：120分钟 满分：150分

命题、审校：湘乡市东山学校

答题要求：

考生领到试卷和答题卡后，请认真检查有无缺印、漏印、重印等问题，如有问题，请提出更换要求。

请在试卷规定的位置填写考生信息。

所有答案必须填写在答题卡上，否则一律无效。

严禁考生将试题卷、答题卡和草稿纸带出考室，违者试卷作无效处理。

第Ⅰ卷（选择题 共45分）

一 选择题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知全集
= （ ）

A．{4} B．{3，4} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}

2 已知为虚数单位，则
在复平面内对应的点位于 ( )

第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3
的内角
的对边分别是
,若
,
,
,则

（　　 ）

A．2 B．
C．
D．1

4 已知命题

,
;命题

,
,则下列命题中为真命题的是 ( )

A．
B．
C．
D．

5 若变量
满足
则
的最大值等于 （ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6 在平面直角坐标系
中,已知
,
,若
,则实数的值为 ( )

A. 3 B.1 C. 0 D.—1

7 一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四

棱锥侧面积和体积分别是 ( )

A．
B．
C．
D．8,8

8．设函数
的取值范围是 （ ）

A．
B．

C．
D．

9．已知非负实数
满足
，则
的最小值为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

第Ⅱ卷（非选择题 共105分）

二 填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填写在题中的横线上）

10 已知曲线
的极坐标方程为
.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线
的参数方程为____________.

11 设
为等差数列
的前项和,
,则
=____________.

12 在区间[-3,3]上随机地取一个数x,若x满足
的概率为
,则
__________.

13 曲线
在点P(2,-3)处的切线方程为
_________

14 如下图是把二进制数
化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是 ．

15．对于集合
的每一个非空子集，定义一个“交替和”为：按照递减的次序重新排列该子集中的元素，然后从最大数开始交替的减、加后继数。例如集合
的“交替和”为
，集合
的“交替和”为
。用
表示集合
的所有非空子集的“交替和”的总和，则⑴
= ；⑵
= 。

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

16 (本小题满分12分)

已知函数
为常数）．

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）若
时，
的最小值为
，求的值．

17 (本小题满分12分)

为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．

组号

分组

回答正确的人数

回答正确的人数

占本组的频率



第1组

[15，25)

a

0.5



第2组

[25，35)

18

x



第3组

[35，45)

b

0.9



第4组

[45，55)

9

0.36



第5组

[55，65]

3

y





(Ⅰ)分别求出a，b，x，y的值；

(Ⅱ)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法

抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？

(Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.

18 (本小题12分)

已知四边形ABCD为矩形，AD＝4，AB＝2，E、F分别是线段AB、BC的中点，PA⊥面ABCD.

(1)求证：PF⊥FD；

(2)设点G在PA上，且EG∥面PFD，试确定点G的位置．

19.(本小题满分13分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上.

(Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项an，bn；

(Ⅱ)设数列{bn}的前n项和为Bn，比较
与2的大小；

20 （本小题满分13分）

湖南省湘潭市某学校要建造一个面积为10 000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．

(1)设半圆的半径OA＝r(米)，设建立塑胶跑道面积S与r的函数关系S(r)；

由于条件限制r∈[30, 40]，问当r取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元)

21．（本小题满分13分） 已知函数

（Ⅰ）求函数的定义域，并证明
在定义域上是奇函数；

（Ⅱ）若

恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当
时，试比较
与
的大小关系．

2014届高三五市十校12月份联考数学试卷（文科）答案

一 选择题（每小题5分，共计45分）

1,B 2, D 3,A 4,C 5,C 6,A 7,B 8, D 9, C

二 填空题（每小题5分，共计30分）

10，
(
为参数) 11，

12，2 13，

14，
(或i<3) 15，（1）4；（2）

三 解答题（本大题共6小题，共75分）

16 解：

(Ⅰ)

………………3分

当
, 即
时，函数
单调递增，故所求区间为
…………6分

(Ⅲ) 当
时，
，∴当
时
取得最小值,

即
, ∴
. ……………12分

17.解：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为
，

再结合频率分布直方图可知n=
, ∴ a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，
…4分

（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，

所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：
人；第3组：
人；第4组：
人 …8分

（Ⅲ）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1.

则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,C1)，

(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,C1)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B1,C1)，(B2,B3)，(B2,C1)，(B3,C1)共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件， …….…10分

∴ 所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：
. …….…12分

18 证明：（1）连接AF，在矩形ABCD中，

∵AD=4,AB=2,点F是BC的中点，

∴∠AFB=∠DFC=
,∠AFD=
,即AF⊥FD,

又∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥FD,

又∵AF∩PA=A,FD⊥面PAF,

∵PF 面PAF,

∴PF⊥FD ………6分

过E作EH∥FD交AD于H,

则EH∥面AFD,且AH=
AD,

过H作HG∥PD交PA于G,

则GH∥面PFD且AG=PA,

∴面EHG∥面PFD,

则EG∥面PFD,

从而G点满足AG=PA,

及G点的位置在PA上靠近A点处的四等分点。………12分

19.解：（Ⅰ）∵ an是Sn与2的等差中项，∴2an=Sn+2 …①

当n=1时，a1=2；n≥2时，2an-1=Sn-1+2 …② ；∴由①-②得：

∴{an}是一个以2为首项，以为公比的等比数列，∴
……3分

又∵点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上，∴bn-bn+1+2=0即：bn+1-bn=2

又b1=1，∴{bn}是一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴
……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：Bn=n2 …8分
…10分

∴
=
=2-
<2 …13分

20 解：（1）塑胶跑道面积

21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由
，解得
或
，

∴ 函数的定义域为
………2分

当
时，

∴
在定义域上是奇函数。 ………4分

（Ⅱ）由
时，
恒成立，

∴

∴
在
成立 ………6分

令
，
，由二次函数的性质可知

时函数单调递增，
时函数单调递减，

时，

∴
………8分

（Ⅲ）
=
…9分

证法一：构造函数
，

当
时，
，∴
在
单调递减，

………12分

当
（
）时，

…13分

证法二：构造函数
,证明:
在
成立,则当
时,
成立.