长葛市第三实验高中2013—2014学年上学期第三次考试试卷

高三数学（理科）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．、已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1

（A）AB （B）BA （C）A=B （D）A∩B=(

2．函数
，已知
在
时取得极值，则=（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

3．已知偶函数
上满足f′(x)＞0则不等式
的解集是 （ ）

A．
B．
C．
D．

4．设函数
，则 （ ）

A．
为
的极大值点 B．
为
的极小值点

C．
为
的极大值点 D．
为
的极小值点

5．函数
的定义域为开区间
，导函数
在
内的图象如图所示函数
在开区间
内有极小值点（ ）

(A)．1个 (B)．2个 (C)．3个 (D)． 4个

6．设
则
等于 （ ）

(A)．
(B)．
(C)．
(D)．

7．已知命题p：?x∈R,9x2－6x＋1>0；命题q：?x∈R，sinx＋cosx＝，则(　　)

A．
是假命题 B．
是真命题

C．
是真命题 D．
是真命题

8．复数z＝的共轭复数是 (　　) ( )

（A）2+i （B）2－i （C）－1+i （D）－1－i

9．已知二次函数
的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．设函数
在R上可导，其导函数为
，且函数
的图像如图所示，则函数
有下列结论中一定成立的是（ ）

A．有极大值
和极小值
B．有极大值
和极小值

C．有极大值
和极小值
D．
有极大值
和极小值

11．已知f（x）=x3–6x2+9x–abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0。现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0。

其中正确结论的序号是（ ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

12．若
，则下列不等式恒成立的是 （ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )

14.计算定积分
___________。

15．已知函数
在
处可导，且
，则
_________　

16若实数
满足
，则
的最大值是__________

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共76分）。

17．命题：关于的不等式
，对一切
恒成立，命题：函数
是增函数，若
为真，
为假，求实数的取值范围.

18．（12分）设
。

（I）求
在
上的最小值；

（II）设曲线
在点
的切线方程为
；求
的值。

19．（12分）抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．

20．（本小题12分）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－
与x＝1时都取得极值

求a、b的值与函数f（x）的单调区间

若对x(〔－1，2〕，不等式f（x）(c2恒成立，求c的取值范围。

21．（14分）已知函数
．

（Ⅰ）求
的单调区间和极值；

（Ⅱ）求证：

．

22．（14分）已知函数
满足满足
；

（1）求
的解析式及单调区间；

（2）若
，求
的最大值．

附加题（实验班必做）（12分）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心
的距离为多少时，帐篷的体积最大？

长葛市第三实验高中2013—2014学年上学期第三次考试试卷

高三数学（理科）参考答案及评分建议

一、选择题1．D；2． B；3．B；4．D；5．D；6．B；7．A；8．C；9．B；10．C；11．C；12．C；

二、填空题13．
； 14．8；15．
；16．

三、解答题

17．解：设z=x+yi, （x, y∈R）, 则z+
=x（1+
）+y（1－
）i ．

∵z+
∈R, ∴y（1－
）=0． ∴y=0, 或x2+y2=10．

又10时, x+
≥2
>6．故y=0时, ①无解．当x2+y2=10时, ①可化为1<2x≤6, 即

∵x, y∈Z, 故可得z=1+3i ,或 1－3i ,或 3+i ,或 3－i ．

18．解：（I）设
；则
，

①当
时，

在
上是增函数，得：当
时，
的最小值为
。

②当
时，
，当且仅当
时，
的最小值为
。

（II）
，由题意得：
。

19．解：依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=－b/a，所以
（1）

又直线x＋y=4与抛物线y=ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组

得ax2＋（b＋1）x－4=0，其判别式必须为0，即（b＋1）2＋16a=0．

于是
代入（1）式得：
，
；　

令S'（b）=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'（b）＞0；当b＞3时，S'（b）＜0．故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且
。

20．解：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）
于是底面正六边形的面积为（单位：m2）

帐篷的体积为（单位：m3）

求导数，得
令
解得x=-2（不合题意，舍去）,x=2．

当1

所以当x=2时,V（x）最大。答当OO1为2m时，帐篷的体积最大。

21．解：（Ⅰ）定义域为
，
………2分

令
，令

故
的单调递增区间为
，
的单调递减区间为

的极大值为

（Ⅱ）证：要证

即证
， 即证
即证

令
，由（Ⅰ）可知
在
上递减，故

即
，令
，故
累加得，

故
，得证

法二：
=



，其余相同证法．

22．解：（1）
令
得：

得：

在
上单调递增

得：
的解析式为
且单调递增区间为
，单调递减区间为

（2）
得

①当
时，
在
上单调递增

时，
与
矛盾

②当
时，

得：当
时，

令
；则

当
时，
当
时，
的最大值为
。