揭阳一中92届高三第二次段考理科数学试卷2013-12-5

—、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1、设不等式
的解集为M，函数
的定义域为N，则
为 （ ）

A． [0，1） B．（0，1） C．[0，1] D．（-1，0]

2、已知
是实数，
是纯虚数，则
等于（ ）

A
B
C
D

3、设P是△ABC所在平面内的一点，
，则（　　　）

A.
B.
C.
D.

4.已知圆C：
的圆心为抛物线
的焦点，直线3x＋4y＋2＝0与圆 C相切，则该圆的方程为( )

A．
B．

C．
D．

5．将函数y＝2cos2x的图象向右平移
个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短 到原来的
倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为( )

A．y＝cos2x B．y＝－2cosx C．y＝－2sin4x D．y＝－2cos4x

6. 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为
=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是( )

A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（
，
）

C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg

7. 已知函数
是偶函数，则此函数的图象与ｙ轴交点的纵坐标的最大值为( )

A.
B.2 C.4 D.－2

8、如右图，矩形
内的阴影部分由曲线

及直线
与
轴围成，向矩形
内随机投掷一

点，若落在阴影部分的概率为
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共7小题, 分为必做题和选做题两部分．

每小题5分, 满分30分）

（一）必做题: 第9至13题为必做题, 每道试题考生都必须作答．

9、若函数
在
处有极值，则函数
的图象在
处的切线的斜率为 。

10、 若关于x的不等式
的解集为空集，则实数a的取值范围是 。

11. 设向量
，
，
满足
，且
，则
，则
=_____________．

12．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是 。

13．某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的结果
的值是

（二）选做题: 第14、15题为选做题, 考生只能选做其中一题, 两题全答的, 只计前一题的得分。

14. （坐标系与参数方程选做题）设Ｍ、Ｎ分别是曲线
和
上的动点，则Ｍ、Ｎ的最小距离是　　

15. （几何证明选做题）如图，圆
是
的外接圆，过点C的切线交
的延长线于点
，
，
。则
的长___________(2分)

的长______________(3分)．

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出必要过程或演算步骤）

16.（本小题满分14分）函数
。

（1）求
的周期；（2）
在
上的减区间；

（3）若

，
，求
的值。

17. （本小题满分12分）某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.

（1）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a, b的值；

区间

[75，80)

[80，85)

[85，90)

[90，95)

[95，100]



人数

50

a

350

300

b



 （2）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成

绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；

（3）在（2）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参

加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与

数学期望.

18. （本小题满分12分）

已知几何体
的三视图如图所示，

其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰

直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）求异面直线
与
所成角的余弦值；

（2）求二面角
的正弦值；

（3）求此几何体的体积的大小

19.（本小题满分14分）

已知数列
前n项和为
，首项为
，且
成等差数列.

（I）求数列
的通项公式；

（II）数列满足
，求证：

20. （本小题满分14分）已知三点O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点

M(x，y)满足|
＋
|＝
·(
＋
)＋2.

(1)求曲线C的方程；

(2)点Q(x0，y0)(－2

21．(本小题满分14分) 已知函数
．

（Ⅰ）设
（其中
是
的导函数），求
的最大值；

（Ⅱ）求证: 当
时，有
；

（Ⅲ）设
,当
时,不等式
恒成立，求
的最大值.

揭阳一中92届高三第二次段考理科数学答案

一 、 AABCDDBB

9. -5 10.
11.
12. ②④ 13.7 14.
15. 4,

16.解：（1）

，（
）… 3分

所以，
的周期
。 …… 4分

（2）由
，得
。… 6分

又
，

令
，得

；令
，得
（舍去）

∴
在
上的减区间是
。 …… 8分

（3）由

，得
，

∴
， ∴
… 10分

又
，∴
… 11分

∴
，∴
… 13分

∴

。 ……14分

17.解：解：（1）依题意，
. ……………4分

（2）设其中成绩为优秀的学生人数为x，则
，解得：x=30，

即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………6分

（3）依题意，X的取值为0，1，2，

，
，
，

所以X的分布列为

X

0

1

2



P










，所以X的数学期望为
. ……………12分

18.解：（1）取
的中点是
，连结
，

则
，∴
或其补角即为异面直线
与
所成的角．……………2分

在
中，
，
．∴
．……………4分

∴异面直线
与
所成的角的余弦值为
．… 5分

（2）因为
平面
，过
作
交
于
，连
．

可得
平面
，从而
，

∴
为二面角
的平面角． ……………7分

在
中，
，
，
，

∴
．∴
．

∴二面角
的的正弦值为
．… 10分

（3）
，∴几何体的体积为16．… 12分

方法2：（1）以
为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（0，0，4）

，
，∴
，

∴异面直线
与
所成的角的余弦值为
．

（2）平面
的一个法向量为
，设平面ADE的一个法向量为
，

所以
，
，

则
， ∴

从而
，
，

令
，则
，
，

∴二面角
的的正弦值为
．

（3）
，∴几何体的体积为16．

20.解：(1)由
＝(－2－x,1－y)，
＝(2－x,1－y)，得 ……………1分

|
＋
|＝， ……………2分

·(
＋
)＝(x，y)·(0,2)＝2y， ……………3分

由已知得＝2y＋2， ……………4分

化简得曲线C的方程是x2＝4y. …… 6分

(2)直线PA，PB的方程分别是y＝－x－1，y＝x－1，……………7分

曲线C在Q处的切线l的方程是y＝x－，……………8分

且与y轴的交点为F，……………9分

分别联立方程，得

解得D，E的横坐标分别是xD＝，xE＝，……………11分

则xE－xD＝2，|FP|＝1－，

故S△PDE＝|FP|·|xE－xD|

＝··2＝，

而S△QAB＝·4·＝，则＝2.

即△QAB与△PDE的面积之比为2. ……14分

21.（本题满分14分）

解:(1）
,
……………1分

所以
． ……………2分

当
时，
；当
时，
．

因此，
在
上单调递增，在
上单调递减．……………3分

因此，当
时，
取得最大值
； ………………4分

（Ⅱ）当
时，
．由（1）知：当
时，
，即
．

因此，有
．………………7分

（Ⅲ）不等式
化为
……………8分

所以
对任意
恒成立．令
，

则
，令

，则
，

所以函数
在
上单调递增．因为
，

所以方程
在
上存在唯一实根
，且满足
．

当
，即
，当
，即
，

所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增．

所以
．

所以
．故整数
的最大值是
. ………14分