马鞍山二中2014届高三年级第一学期期中考试试题

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合A={0，m2}，B={1，2}，则“m=1”是“A∪B={0，1，2}”的（　　）

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件



2．已知点
，
则与
同方向的单位向量是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知点
在圆
上，则函数
的最小正周期和最小值分别为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知函数
的定义域为
，则
的定义域为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．实数
的值为（　　）

　 A．2 B．5 C．10 D． 20



6．已知角的终边上一点坐标为
，则角的最小正值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设复数满足
,则复数的共轭复数是（ ）.��

A．
B.
C．
D.

8．已知向量
，
，则
与
夹角的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．设分程
和方程
的根分别为和，函数
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

10．已知函数
，若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，1] B．（0，1） C．[0，+∞） D．（﹣∞，1）





第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）

11．已知f（x）=2x3+ax2+b﹣1是奇函数，则a﹣b=　 　．





12．已知向量a 、b不共线，若a－2b与3a＋kb共线，则实数k＝_____.

13．函数y＝tan的部分图象如图所示，则(O－)·＝

14．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则的取值范围是___________．

15.设
为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数和向量
,都有
,则称M为“点射域”.现有下列平面向量的集合:

①
； ②
；

③
； ④
；

上述为“点射域”的集合的有 （写正确的标号）

三、解答题（本大题共6道小题，共75分，请将解题过程写在答题纸相应的位置，写错位置不得分）

16．（本小题满分12分）

设命题
；

命题

是方程
的两个实根 ，且不等式
≥
对任意的实数
恒成立，若pq为真，试求实数m的取值范围.

17．（本小题满分12分）

如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？

18．（本小题满分12分）

已知A，B，C的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cosα，sinα)，α ∈ .

(1)若||＝||，求角α的值；

(2)若·＝－1，求的值．

19.（本小题满分13分）

省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝＋2a＋，x [0,24]，其中a是与气象有关的参数，且a  ，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．

(1)令t＝，x∈[0,24]，求t的取值范围．

(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

20（本小题满分13分）

已知函数
(a，b均为正常数).

（1）求证：函数f(x)在(0，a+b]内至少有一个零点；

（2）设函数在
处有极值，

①对于一切
，不等式
恒成立，求b的取值范围；

②若函数f(x)在区间
上是单调增函数，求实数m的取值范围.

21.（本小题满分13分）

已知函数

(1) 当
时, 求函数
的单调增区间；

(2) 求函数
在区间
上的最小值；

(3) 在(Ⅰ)的条件下，设
,

证明：
.参考数据：
.





马鞍山二中2014届高三年级第一学期期中考试试题

数学（理科）解答

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合A={0，m2}，B={1，2}，则“m=1”是“A∪B={0，1，2}”的（　B　）

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件



2．已知点
，
则与
同方向的单位向量是（ A ）

A．
B．
C．
D．

3．已知点
在圆
上，则函数
的最小正周期和最小值分别为（ B ）

A．
B．
C．
D．

4．已知函数
的定义域为
，则
的定义域为（ C ）

A．
B．
C．
D．

5．实数
的值为（D　　）

　 A．2 B．5 C．10 D．20



6．已知角的终边上一点坐标为
，则角的最小正值为（ B ）

A．
B．
C．
D．

7．设复数满足
,则复数的共轭复数是（ B ）.��

A．
B.
C．
D.

8．已知向量
，
，则
与
夹角的余弦值为（ B ）

A．
B．
C．
D．

9．设分程
和方程
的根分别为和，函数
，则（ A ）

A．
B．

C．
D．

10．已知函数
，若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　D　）

A．

（﹣∞，1]

B．

（0，1）

C．

[0，+∞）

D．

（﹣∞，1）





解：函数
的图象如图所示，

当a＜1时，函数y=f（x）的图象与函数y=x+a的图象有两个交点，

即方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根， 故选：D





第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）

11．已知f（x）=2x3+ax2+b﹣1是奇函数，则a﹣b=　﹣1　．

解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，得b﹣1=0，解得b=1．

∴f（x）=2x3+ax2．

又∵f（﹣x）+f（x）=0，∴﹣2x3+ax2+2x3+ax2=0，化为ax2=0，对于任意实数R都成立．

∴a=0．∴a﹣b=﹣1． 故答案为﹣1．



12．已知向量a、b不共线，若a－2b与3a＋kb共线，则实数k＝________.

解析：因为a－2b与3a＋kb共线，所以存在实数λ使得a－2b＝λ(3a＋kb)，

整理得(3λ－1)a＋(kλ＋2)b＝0，又因为向量a、b不共线，

所以，∴. 答案：－6

13．函数y＝tan的部分图象如图所示，则(O－)·＝ 4

解析：由题意知A(2,0)，B(3,1)，所以(－)·＝(1,1)·(3,1)＝4

14．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则的取值范围是_______________．

解析：根据已知条件得2b＝(2m，m＋2sinα)，又a＝2b，所以λ＋2＝2m，λ2－cos2α＝m＋2sinα，

于是2λ2－2cos2α＝λ＋2＋4sinα，即2λ2－λ＝－2sin2α＋4sinα＋4＝－2(sinα－1)2＋6，

故－2≤2λ2－λ≤6，即，解得－≤λ≤2，

故＝＝2－∈[－6,1]． 答案：[－6,1]

15.设
为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数和向量
,都有
,则称M为“点射域”.现有下列平面向量的集合:

①
； ②
；

③
； ④
；

上述为“点射域”的集合的有 ② （写正确的标号）

三、解答题（本大题共6道小题，共75分，请将解题过程写在答题纸相应的位置，写错位置不得分）

16．（本小题满分12分）设命题
；

命题

是方程
的两个实根 ，且不等式
≥
对任意的实数
恒成立，若pq为真，试求实数m的取值范围.

解：解：对命题

又
故

对命题
对
有

∴

若
为真，则假真

∴

17．（本小题满分12分）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？

解：由题意知AB＝5(3＋)(海里)，

∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，

∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.

在△DAB中，由正弦定理得 ＝，

∴DB＝＝＝＝＝10(海里)．

又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC＝20(海里)，

在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC

＝300＋1200－2×10×20×＝900，

∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．

即该救援船到达D点需要1小时.

18．（本小题满分12分）已知A，B，C的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cosα，sinα)，α ∈ .

(1)若||＝||，求角α的值；

(2)若·＝－1，求的值．

解：(1) ∵＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，

∴＝(cosα－3)2＋sin2α＝10－6cosα，

＝cos2α＋(sinα－3)2＝10－6sinα，

由||＝||，可得＝，

即10－6cosα＝10－6sinα，得sinα＝cosα.

又∵α∈，∴α＝.

(2)由·＝－1，得(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1，

∴sinα＋cosα＝.①

又＝＝2sinαcosα.

由①式两边分别平方，得1＋2sinαcosα＝，

∴2sinαcosα＝－.∴＝－.

19.（本小题满分13分）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝＋2a＋，x [0,24]，其中a是与气象有关的参数，且a  ，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作

M (a )．

(1)令t＝，x∈[0,24]，求t的取值范围．

(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

解： (1)当x＝0时，t＝0；

当0＜x≤24时，x＋≥2(当x＝1时取等号)，

∴t＝＝∈， 即t的取值范围是 .

(2)当a ∈  时，记g(t)＝|t－a|＋2a＋， 则g(t)＝

∵g(t)在[0，a]上单调递减，在上单调递增， 且g(0)＝3a＋，g＝a＋，

g(0)－g＝2.

故M(a)＝＝

∴当且仅当a≤时，M(a)≤2.

故当0≤a≤时不超标，当＜a≤时超标．

20（本小题满分13分）已知函数
(a，b均为正常数).

（1）求证：函数f(x)在(0，a+b]内至少有一个零点；

（2）设函数在
处有极值，

①对于一切
，不等式
恒成立，求b的取值范围；

②若函数f(x)在区间
上是单调增函数，求实数m的取值范围.

（1）证明：
，

所以，函数
在
内至少有一个零点

（2）
由已知得：
所以a=2，

所以f（x）=2sinx﹣x+b

①不等式
恒成立可化为：sinx﹣cosx﹣x＞﹣b

记函数g（x）=sinx﹣cosx﹣x，

，所以
在
恒成立

函数
在
上是增函数，最小值为g（0）=﹣1

所以b＞1， 所以b的取值范围是（1，+∞）

②由
得：
，所以m＞0

令f′（x）=2cosx﹣1＞0，可得

∵函数f（x）在区间（
）上是单调增函数，

∴

∴6k≤m≤3k+1

∵m＞0，∴3k+1＞0，6k≤3k+1 ∴k=0 ∴0＜m≤1

21.（本小题满分13分）已知函数

(1) 当
时, 求函数
的单调增区间；

(2) 求函数
在区间
上的最小值；

(3) 在(Ⅰ)的条件下，设
,

证明：
.参考数据：
.

解.(Ⅰ)当
时，
，

或
。函数
的单调增区间为

(Ⅱ)
，

当
，
单调增。

当
，
单调减.
单调增。

当
，
单调减，