青岛二中2014届高三12月阶段性检测

数学（理工类）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设全集
，

则右图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．
B．

C．
D．

2.已知各项均为正数的等比数列{
}中,
则
( )

A.
B.7 C.6 D.4

3. 已知
，则
的大小关系为（ ）

A.
B.
C.
D .

4.已知
且
，函数
在同一坐标系中的图象可能是

5.若直线 过
点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有几条（ ）

A. 1条 B.2 条 C.3条 D.以上都有可能

6.已知
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）

A．若
B．若

C．若
D．若
则

7.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数： ①
； ②
；

③
； ④
．

其中“同簇函数”的是（ ）A.①② B.①④ C.②③ D.③④

8.已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆的

半径为1，则该几何体的体积为( )

A．
B．
C．
D．

9.正六棱柱的底面边长为4,高为6,则它的外接球的表面积为

A.
B.
C.
D.

的最小值是( )

A.16 B. 9 C. 12 D. 8

11.设函数
，若实数
满足
，则

A．
B．

C．
D．

12.若对任意
，
，（
、
）有唯一确定的
与之对应，称
为关于
、
的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数
为关于实数
、
的广义“距离”:

（1）非负性:
，当且仅当
时取等号；

（2）对称性:
；

（3）三角形不等式:
对任意的实数z均成立.

今给出四个二元函数:①
；②
；③
；④
.

能够成为关于的
、
的广义“距离”的函数的所有序号是

A. ① B. ② C. ③ D. ④

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13.在
中，
依次成等比数列，则角
的取值范围是

14．已知
中
，若
为
的重心，则
．

15.若圆
上恰有两点到直线
（
的距离等于1，则
的取值范围为

16.在正方形
中，
是
的中点，
是侧面
内的动点且
//平面
，则
与平面
所成角的正切值得取值范围为

三、解答题：本大题共6个小题，共74分.

17．（满分12）

命题
函数
既有极大值又有极小值；

命题
直线
与圆
有公共点.

若命题“
或
”为真，且命题“
且
”为假，试求实数
的取值范围.

18．（满分12分）已知锐角
中，角
所对的边分别为
，

已知
，（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，
，求
的值．

19．(满分12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝
Sn＋1（n∈N*）；

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若
， cn＝
，且{cn}的前n项和为Tn，求使得
对n∈N*都成立的所有正整数k的值.

20．（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）若函数
的值域为
，若关于
的不等式
的解集为
，求
的值；

（Ⅱ）当
时，
为常数，且
，
，求
的取值范围.

21.（满分13分）

四棱锥
底面是平行四边形，面
面
,

,
,
分别为
的中点.

（1）求证：

（2）求证：

（3）求二面角
的余弦值

22．（本小题满分14分）

在实数集R上定义运算：
（Ⅰ）求F(x)的解析式；

（Ⅱ）若F(x)在R上是减函数，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若a=－3，在F(x)的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由.

2014届高三阶段性检测

数学（理科）试题参考答案及评分标准

选择题： B A A C B D D A C B D A

二、填空题：13.
14.
15.
16．

三、解答题

17.解：命题
为真时，必有
有两个不同的解，

即
，即
或
；-----------------4分

命题
为真时，圆心
到直线
的距离不大于半径1，

即
，解得
- -------------8分

由命题“
或
”为真，且命题“
且
”为假，知
、
必一真一假.

若
真
假，则实数
的取值范围是

或
或
或

若
假
真，则实数
的取值范围是

综上知实数
的取值范围是
--------------12分

18．解：（Ⅰ）因为
为锐角三角形，且
，所以
---1分

------------------------------------------4分

将
，
代入得

-------------------------6分

（Ⅱ）由
，得
① --------8分

得
，

即
② --------10分

由①②解得
-------------12分

19 ．（本小题满分12分）

解、(Ⅰ) an＝
Sn＋1 ①

an-1＝
Sn-1＋1（n≥2） ②

①-②得：an＝2an-1（n≥2），又易得a1＝2 ∴an＝2n …………………… 4分

(Ⅱ) bn＝n,

裂项相消可得

……… 8分

∵
…………………………………………… 10分

∴欲
对n∈N*都成立，须
，

又k正整数，∴k=5、6、7 …………………………………………… 12分

20．（本小题满分12分）

解（Ⅰ）由值域为
，当
时有
，

即
…………2分

则
，由已知

解得
，
……………4分

不等式
的解集为
，∴
，

解得
……………6分

（Ⅱ）当
时，
，所以

因为
，
，所以

令
，则
……………8分

当
时，
，
单调增，当
时，
，
单调减，

所以当
时，
取最大值，
……………10分

因为

，所以

所以
的范围为
……………12分

21【解析】（1）
-----1分

,所以
---2分

------------------------4分

（2）
----------------①

所以
-------6分

-----------------------②--------------------------------------------------7分

由 ①②可知，

-----------------------------------------------9分

(3)取
的中点
,

是二面角

的平面角 ----------------------------11分

由 （2）知

即二面角
的余弦值为
---------------13分

解法二 （1）

所以

建系
令

,

因为平面PAB的法向量

(2)

(3) 设平面PAD的法向量为

,

令
所以

平面PAB的法向量

，即二面角
的余弦值为

22解：（I）由题意，F(x)=f(x)
(a－g(x))……………………………………2分

=ex(a－e－x－2x2)

=aex－1－2x2ex.………………………………4分

（II）∵F′(x)=aex－2x2ex－4xex=－ex(2x2+4x－a)，………………6分

当x∈R时，F(x