德州市中学2014届高三上学期期中考试

文科数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义
，则
的子集个数为

A．7 B．12 C．32 D．64

2．已知
，复数
的实部为
，虚部为1，则
的取值范围是

A．(1，5) B．(1，3) C．
D．

3．若命题“
或
”与命题“非
”都是真命题，则

A．命题
不一定是假命题 B．命题
一定是真命题

C．命题
不一定是真命题 D．命题
与命题
同真同假

4．已知数阵
中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若
，则这9个数的和为

A．16 B．32 C．36 D．72

5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A．6 B．8 C．10 D．12

6．执行如右图所示的程序框图，如果输入的
是4，则输出的
的值是

A．8 B．5 C．3 D．2

7．函数
的图象大致为

8．连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为
、
，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：

①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1．

其中真命题的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

9．若
，
，且当
时，恒有
1，则以
为坐标的点
所形成的平面区域的面积是

A．
B．
C．1 D．

10．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是
，
，
，
，则

A．7 B．
C．
D．
或

11．过抛物线
的焦点F，斜率为
的直线交抛物线于A，B两点，若
，则
的值为

A．5 B．4 C．
D．

12．对任意实数
，定义运算
，其中
为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算．现已知1*2=4，2*3=6，且有一个非零实数
，使得对任意实数
，都有
，则

A．2 B．3 C．4 D．5

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．

13．若非零向量
满足
，
，则
与
的夹角为______．

14．某学校对1 000名高三毕业学生的体育水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是______．

15．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数
，则直线
与圆
有公共点的概率为_______．

16．已知双曲线
的离心率
，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是_______．

三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．

17．(本小题满分12分)

已知函数
，
．

(1)求函数
的最小正周期；

(2)求函数
在区间
上的最小值与最大值．

18．(本小题满分12分)

某企业新研制一种LED节能灯管，为了测试其使用寿命，从中随机抽取50支灯管作为测试样本，

分别在使用了12个月、24个月、36个月时进行3次测试，得到未损坏的灯管支数如下表：

(1)请补充完整如图所示的频率分布直方图；

(2)试估计这种节能灯管的平均使用寿命；

(3)某校一间功能室一次性换上5支这种灯管，在使用了12个月时随机取其中3支，求取到已损坏灯管的概率．

19．（本小题满分12分）

如图1所示，在Rt△ABC中，AC =6，BC =3，∠ABC=
，CD为∠ACB的角平分线，点E在线段AC上，且CE=4．如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．

(1)求证：DE⊥平面BCD；

(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥
的体积．

20．(本小题满分12分)

已知常数
且
，数列
的前
项和
，数列
满足
且
．

(1)求证：数列
是等比数列；

(2)若对于在区间[0，1]上的任意实数
，总存在不小于2的自然数
，当
时，
恒成立，求
的最小值．

21．（本小题满分13分）

已知椭圆C：
的长轴长为4，离心率

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点S是椭圆C上位于
轴上方的动点，直线AS，BS与直线
：
分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值．

22．（本小题满分13分）

已知函数
，若函数
满足
恒成立，则称
为函数
的下界函数．

(1)若函数
是
的下界函数，求实数
的取值范围；

(2)证明：对任意的
，函数
都是
的下界函数．



一、1．D【解析】集合
中的元素为(3，6)，(3，7)，(4，6)，(4，7)，(5，6)，(5，7)共6个，故
的子集个数为
．

2．C【解析】由于复数
的实部为
，虚部为1，且
，故由
得
．

3．B【解析】由题可知“非
”是真命题，所以
是假命题，又因为“
或
”是真命题，所以
是真命题．故选B．

4．D 【解析】依题意得


．

5．D【解析】该几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼接到右边而得到的，它的体积就是长方体的体积，体积为
．

6．C【解析】由题知，第一次进入循环，满足1<4，循环后
，
，
，
；第二次进入循环，满足2<4，循环后
，
1，
，
；第三次进入循环，满足3<4，循环后
，
，
，
，因为4=4，不满足题意，所以循环结束．输出
的值为3，选C．

7．A【解析】因为
，
，所以函数
为奇函数，排除B，C；又因为当
时，

，故选择A．

8．C【解析】设球的球心O到直线AB、CD的距离分别为
，利用勾股定理可求出
，
，所以CD可以经过M，而AB不会经过N，所以①正确，②不正确；又
，
，所以③④正确．故选C．

9．C【解析】由题意可得，当
时，
恒成立，
时，
显然恒成立；
时，可得
恒成立，解得
，所以
；同理可得
．所以点
确定的平面区域是一个边长为1的正方形，故面积为1．

10．B【解析】因为
，所以由正弦定理得
，角A为三角形的内角，则
，所以
，由△ABC为锐角三角形得
．根据余弦定理得

．所以
．

11．B【解析】 根据题意设
，
．由
得
，故
，即

．设直线AB的方程为
，联立直线与抛物线方程，消元得
．故
，

，
，即

．又
，故
．

12．D【解析】由定义可知，
，解得
，又对任意实数
，都有
，即

恒成立，则
，解得
或
（舍）．

二、13．
【解析】由题意得

，所以
，所以
的夹角为
．

14．600【解析】不低于70分的人数的频率为

，故合格的人数是
．

15．
【解析】依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组
有(1,1)， (1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共 36种，其中满足直线
与圆
有公共点，即
，
的数组
有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1 ,4)，……，(6,6)，共
种，因此所求的概率等于
．

16．
【解析】因为
，所以
，即
，又
，所以
，即
，所以一条渐近线与实轴所成锐角的值是
．

三、17．【解析】(1)

．（4分）

因此，函数
的最小正周期为
．（6分）

(2)由题易知
在区间
上是减函数，

在区间
上是增函数，（8分）

又
，
，
，（10分）

所以，函数
在区间
上的最大值为3，最小值为
．（12分）

18．【解析】(1)由题意知这种节能灯管的使用寿命在[0，12]上的有
10支，在
上的有
30支，在
上的有10支，易知使用寿命在[0，12]上与使用寿命在
上的频数相等，（2分）

故补充完整的频率分布直方图如图所示，（4分）

(2)取每组的组中值计算灯管的平均使用寿命得
，即这种节能灯管的平均使用寿命为18个月．（6分）

(3)由题易知，S支灯管在使用了12个月时未损坏的有

支，记作
，已损坏的有1支，记作B．

从中随机取3支的所有可能结果有：
，

，
，
，
，
，

，
，
，
，共10个．（8分）

取到已损坏灯管的事件有：
，
，

，
，
，
，共6个，（10分）

所以取到已损坏灯管的概率
．（12分）

19．【解析】(1)在图1中，因为AC=6，BC=3，所以
，
．

因为CD为∠ACB的角平分线，所以
，
．（2分）

因为CE=4，
，由余弦定理可得
，

即
，解得DE=2．

则
，所以
，DE⊥DC．（4分）

在图2中，因为平面BCD⊥平面ACD，平面BCD
平面ACD= CD，DE
平面ACD．且DE⊥DC，所以DE⊥平面BCD．（6分）

(2)在图2中，因为EF∥平面BDG，EF
平面ABC，

平面ABC
平面BDG= BG，所以EF//BG．

因为点E在线段AC上，CE=4，点F是AB的中点，

所以AE=EG=CG=2．（8分）

作BH⊥CD于点H．因为平面BCD⊥平面ACD，

所以BH⊥平面ACD．

由已知可得

．（10分）

，

所以三棱锥
的体积

．（12分）

20．【解析】(1)当
时，

，整理得
．（3分）

由
，得

，则恒有
，从而
．所以数列
为等比数列．（6分）

(2)由(1)知
，则
，

所以

，（8分）

所以
，则

在
时恒成立．

记
，由题意知