宝鸡市金台区2014届高三11月会考

数学理试题

2013.11

本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题. 满分150分，考试时间120分钟.

参考公式：

第一部分（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设复数
，则
的共轭复数是

A.
B.
C.
D.

2.已知集合
，则

A.
B.
C.
D.

3.二项式
的展开式的第二项的系数为
，则
的值为

A.
B.
C.
或
D.
或

4.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图

中圆的直径为4，该几何体的体积为
．直径

为4的球的体积为
，则

A.
B.
C.
D.

5.已知函数
，若
是从1，2，3三个数中任取的一个数，
是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为

A.
B.
C.
D.

6.已知
，
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

7.已知等比数列
，且
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

8.在如右程序框图中，若
，则输出的是

A.
B.

C.
D.

9.定义在
上的偶函数
满足
时，

成立，若
，

，
，

则
的大小关系是

A.
B.

C.
D.

10.点
在双曲线
上，

、
是这条双曲线的两个焦点，
，

且
的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是

A.
B.
C.
D.

第二部分（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.设函数
，则
的值为 .

12.设
与抛物线
的准线围成的三角形区域（包含边界）为
，
为
内的一个动点，则目标函数
的最大值为 .

13.在
中，角
的对边分别为
，若
，
，
，则
等于 .

14.观察下列等式：

；
；
；……

则当
且
时，
.（最后结果用
表示）．

15．（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）

A.(不等式选讲）若实数
满足
，则
的最大值是 .

B.(几何证明选讲）如图，
内接于圆
，
，直线
切圆
于点
，
交
于点
.若
，则
的长为 .

C.(坐标系与参数方程选讲）已知点
是曲线
上任意一点，则点
到直线
的距离的最小值是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分12分)已知函数
．

（1）设函数
的图像的顶点的纵坐标构成数列
，求证：
为等差数列；

（2）设函数
的图像的顶点到
轴的距离构成数列
，求
的前
项和
．

17.(本小题满分12分)在
中，
，
，
分别是角
，
，
的对边，向量

，
，且
//
．

（1）求角
的大小；

（2）设
，且
的最小正周期为
，求
在区间
上的最大值和最小值．

男



女







8

16

5

8

9







8

7

6

17

2

3

5

5

6



7

4

2

18

0

1

2











1

19

0











18.(本小题满分12分)学校为了使运动员顺利参加运动会,招募了8名男志愿者和12名女志愿者，这20名志愿者的身高如下茎叶图（单位：cm）：若身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”.

（1）用分层抽样的方法从“高个子”和“非高

个子”中抽取5人，如果从这5人中随机

选2人，那么至少有1人是“高个子”的

概率是多少？

（2）若从所有“高个子”中随机选3名志愿者，用
表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出
的分布列，并求
的数学期望.

19.(本小题满分12分)平行四边形
中，
，
，
，以
为折线，把
折起，使平面
平面
，连结
.

（1）求证：
；

（2）求二面角
的大小.

20.(本小题满分13分)设椭圆
：
的左、右焦点分别是
、
，下顶点为
，线段
的中点为
（
为坐标原点），如图.若抛物线
：
与
轴的交点为
，且经过
、
两点．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设
，
为抛物线
上的一动

点，过点
作抛物线
的切线交椭圆

于
、
两点，求
面积的最大值．

21.(本小题满分14分)已知函数
.

（1）若曲线
在
和
处的切线互相平行，求
的值；

（2）求
的单调区间；

（3）设
，若对任意
，均存在
，使得

＜
，求
的取值范围．

高三会考理科数学试题答案 2013.11

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.C 7.A 8.C 9.C 10.D

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 10 12. 3 13.
14.
15. A.
B.
C.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．(本小题满分12分)

解：（1）∵
，

∴
， -----2分 ∴
，

∴数列
为等差数列． ---------4分

（2）由题意知，
， ---------6分

∴当
时，
，

----8分

当
时，
，

．---------10分

∴
． ---------12分

17．(本小题满分12分)

解：（1）由
//
，得

, --1分

由正弦定理，得
---------3分

---------6分

（2）由题知

，--8分

由已知得
，
，
-----9分

当
时，
-----10分

所以，当
时，
的最大值为
；当
时，
的最小值为
．

---------12分

18.（本小题12分）

解：（1）根据茎叶图可知，这20名志愿者中有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法从中抽出5人，则每个人被抽到的概率为
，所以应从“高个子”中抽
人，从“非高个子”中抽
人. …………2分

用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件
表示“没有一名‘高个子’被选中”，则
,

因此至少有1人是“高个子”的概率是
；…………6分

（2）依题意知，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数
的所有可能为0,1,2,3.

,
,

，
，……10分

因此，
的分布列如下：

0

1

2

3















所以
的数学期望
.…………12分

19.（本小题满分12分）

解：（1）在
中，
……3分

易得
，……4分

面

面


面


…………6分

（2）在四面体ABCD中，以D为原点，DB为
轴，DC为
轴，过D垂直于平面BDC的射线为
轴，建立如图空间直角坐标系.

则D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（2，0，2）

设平面ABC的法向量为
，而
，

由
得：
，取
. …………8分

再设平面DAC的法向量为
，而
，

由
得：
，取
，……………10分

所以
，所以二面角B-AC-D的大小是
………12分

20．(本题满分13分)

解：（1）由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2．…………2分

令y=0得
即
，则F1(-1，0)，F2（1，0），故c =1．…………4分

所以
．于是椭圆C1的方程为：
．…………6分

（2）设N（
），由于
知直线PQ的方程为：

． 即
．…………7

代入椭圆方程整理得：
,

=
,

,
,…………9分

故

．…………10分

设点M到直线PQ的距离为d，则
．

所以，
的面积S

…………12分

当
时取到“=”，经检验此时
，满足题意．

综上可知，
的面积的最大值为
．…………13分

21．（本小题满分14分）

解：

. …………2分

（1）
，解得
. …………3分

（2）

. …………5分

①当
时，
，
，

在区间
上，
；在区间
上
，

故
的单调递增区间是
，

单调递减区间是
. …………6分

②当
时，
，

在区间
和
上，
；在区间
上
，

故
的单调递增区间是
和
，

单调递减区间是
. …………7分

③当
时，
， 故
的单调递增区间是
.……8分

④当
时，
，

在区间
和
上，
；在区间
上
，

故
的单调递增区间是
和
，单调递减区间是
.………9分

（3）由已知，在
上有
.…………10分

由已知，
，由（Ⅱ）可知，

①当
时，
在
上单调递增，

故
，

所以，
，解得
，

故
. …………11分

②当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，

故
.

由
可知
，
，
，

所以，
，
， …………13分

综上所述，
. …………14分