2013-2014学年第一学期第一次月考

高三数学（理）

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共6 0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．已知集合A＝{x|x

A．a≤1 B．a<1 C．a≥2 D．a>2

2. 已知命题p：?n∈N,2n＞1000，则?p为(　　)

A．?n∈N,2n≤1000 B．?n∈N,2n＞1000

C．?n∈N,2n≤1000 D．?n∈N,2n＜1000

3．若不等式
成立的充分条件为
，则实数的取值范围为（ ）

4.实数a＝
，b＝log0.3，c＝()0.3的大小关系正确的是(　　)

A．a

5．函数f(x)＝ln(x＋1) － (x>0)的零点所在的大致区间是(　　　)

A．(0,1) B．(1,2) C．(2，e) D．(3,4)

6．已知函数y＝f(x)是偶函数，且函数y＝f(x－2)在[0,2]上是单调减函数，则(　　)

A．f(－1)

C．f(2)

7、若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在
上是减函数，且f(2)= 0，则使得f(x)<0的x的取值范围是 ( )

A(-(,2) B (2, +() C (-(,?2)((2,+() D (-2,2)

8．由直线
，
，曲线
及轴所围成图形的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．若函数f(x)＝|x|(x－b)在[0,2]上是减函数，则实数b的取值范围是(　　)

A．(－∞，4] B．(－∞，2]

C．[2，＋∞) D．[4，＋∞)

10．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（ ）

A. y＝[
] B．y＝[
] C．y＝[
] D．y＝[
]

11．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f（x）表示弧AB与弦AB所

围成的弓形面积的2倍，则函数y=f（x）的图象是（ ）

12．关于的方程
，给出下列四个命题：

①存在实数
，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数
，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数
，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数
，使得方程恰有8个不同的实根.

其中假命题的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

13．已知定义在上的奇函数
，当
时
，则当
时
的表达式为____________

14．已知函数f(x)对任意实数x都有f(x＋3)＝－f(x)，又f(4)＝－2，则f(2011)＝_______.

15、设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线
对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_ _______________.

16．若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是______

三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(10分) 设函数y=f(x)对于x>0有意义，且满足条件：f(2)=1, f(xy)=f(x)+f(y)，

f(x)在(0,+∞)上为增函数，

①证明：f(1)=0； ②求f(4)的值；

③如果f(x)+ f(x－3)≤2，求x的取值范围；

18.（本小题满分12分）设集合A={x|-2≤x≤3},B为函数y=lg(kx2+4x+k+3)的定义域（k<0）,当B?A时,求实数k的取值范围.

19(12)、已知二次函数
的二次项系数为，且不等式
的解集为
。

（Ⅰ）若方程
有两个相等的根，求
的解析式；

（Ⅱ）若
的最大值为正数，求的取值范围．

20.（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R.

(1)试判断f(x)的奇偶性；

(2)若－≤a≤，求f(x)的最小值．

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex-k－x，(x∈R)

(1)当k＝0时，若函数
的定义域是R，求实数m的取值范围；

(2)试判断当k>1时，函数f(x)在(k,2k)内是否存在零点．

22. (本大题满分12分)已知定义在(0，+∞)上的两个函数
，，且f (x)在x = 1处取得极值．(1)求a的值及函数g (x)的单调区间；(2)求证：当1 < x < e2时，恒有
成立；(3)把g (x)对应的曲线向上平移6个单位后得曲线C2，求C2与f (x)对应曲线C1的交点个数，并说明理由．

高三第一次月考数学 答案 理科数学

一、选择题

1—5.CAACB, 6—10.DDDDB, 11—12,DB

二、填空题

(13)
．(14),2 (15), 0 (16), _[1，)__

三、解答题

17. （1）略。 （2）?（4）=2 （3）3＜χ≤4

18, 解:设g(x)=kx2+4x+k+3,

则B={x|g(x)>0}.

当k<0时,由B?A知
解得-4

19.（1）
( 2)a＜﹣2

20.解　(1)当a＝0时，函数f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)，

此时，f(x)为偶函数．

当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，

f(a)≠f(－a)，f(a)≠－f(－a)，此时，f(x)为非奇非偶函数．

(2)当x≤a时，f(x)＝x2－x＋a＋1＝2＋a＋，

∵a≤，故函数f(x)在(－∞，a]上单调递减，

从而函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为f(a)＝a2＋1.

当x≥a时，函数f(x)＝x2＋x－a＋1＝2－a＋，

∵a≥－，故函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值为f(a)

＝a2＋1.

综上得，当－≤a≤时，函数f(x)的最小值为a2＋1.

21.[解析]　(1)当k＝0时，f(x)＝ex－x，f ′(x)＝ex－1，

令f ′(x)＝0得，x＝0，当x<0时f ′(x)<0，当x>0时，f ′(x)>0，

∴f(x)在(－∞，0)上单调减，在[0，＋∞)上单调增．

∴f(x)min＝f(0)＝1，

∵对?x∈R，f(x)≥1，∴f(x)－1≥0恒成立，

∴欲使g(x)定义域为R，应有m>－1.

(2)当k>1时，f(x)＝ex－k－x，f ′(x)＝ex－k－1>0在(k,2k)上恒成立．

∴f(x)在(k,2k)上单调增．

又f(k)＝ek－k－k＝1－k<0，

f(2k)＝e2k－k－2k＝ek－2k，令h(k)＝ek－2k，

∵h′(k)＝ek－2>0，∴h(k)在k>1时单调增，

∴h(k)>e－2>0，即f(2k)>0，

∴由零点存在定理知，函数f(x)在(k,2k)内存在零点．

22(本大题满分12分)已知定义在(0，+∞)上的两个函数
，，且f (x)在x = 1处取得极值．(1)求a的值及函数g (x)的单调区间；(2)求证：当1 < x < e2时，恒有
成立；(3)把g (x)对应的曲线向上平移6个单位后得曲线C2，求C2与f (x)对应曲线C1的交点个数，并说明理由．

22．(1)解：∵
，∴，∴a = 2 2分由
得：0 < x < 1，由
得：x > 1∴g (x)的的单调减区间是(0，1)，单调增区间是(1，+∞)． 4分