东山二中2014届高三期中考试数学文试题（B卷）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知i为虚数单位，复数
在复平面内对应的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2．已知集合
，则
=（ ）

A.
B.
C.
D.

3．在
中，若
,
，
，则
的面积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

4．设变量x，y满足约束条件
，则
的最大值为 ( )

A．0 B．2 C．3 D．4

5．函数
，则
有（ ）

A. 最小值4 B. 最大值4 C.最小值-4 D. 最大值-4

6．等差数列
中，若
为一确定常数，则下列前n项和也是常数的是（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 函数
的图象是（ ）

8. 设
，
是两条不同的直线，
是一个平面，则下列命题正确的是（ ）

A. 若
，
，则
B. 若
，
，则

C. 若
，
，则
D.若
，
，则

9. 函数
的零点所在的区间是（ ）

A.
B.
C.
D.

10．△ABC中，若sinB既是sinA，sinC的等差中项，又是sinA，sinC的等比中项，则∠B的值是( )

A．300 B．450 C．600 D．900

11.下列命题正确的是( )

A.若
,则
B. 若
则

C.若
,则
D. 若
,则

12．我们把函数
连续进行
次求导后得到的函数，称为函数
的
阶导函数，记为
（其中
）．比如：若
，则
．现给出下列函数：

①
；②
；③
；④
；⑤
．

其中“
，
=
”的是( )

Ａ．①②③　 Ｂ．①③⑤　 Ｃ．③④⑤　　 Ｄ．①③④

二. 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卷的相应位置上）

13.如图所示一个空间几何体的三视图(单位：
)则该几何体的

体积为 _______

14．已知m>0,n>0,向量
，且
，

则
的最小值是

15．已知函数

若
，

则
。

16．设函数
，观察：

……依此类推，归纳推理可得当
且
时，
．

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.（本小题满分12分）某校从参加市联考的甲、乙两班数学成绩110分以上的同学中各随机抽取8人，将这16人的数学成绩编成如下茎叶图.

（Ⅰ）茎叶图中有一个数据污损不清（用△表示），若甲班抽出来的同学平均成绩为122分，试推算这个污损的数据是多少？

（Ⅱ）现要从成绩在130分以上的5位同学中选2位作数学学习方法介绍，请将所有可能的结果列举出来，并求选出的两位同学不在同一个班的概率.

18．（本小题满分12分） 已知数列
中，
且
．

（1）求证：数列
是等比数列； （2）求数列
的前n项和
．

19.（本小题满分12分）设函数

（1）写出函数
的最小正周期及单调递减区间；

（2）当
时，函数
的最大值与最小值的和为
，

20．（本小题满分12分）

如图，在棱长都等于1的三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，D、E分别为
、
的中点.

（Ⅰ）求证：DE//平面ABC；

（Ⅱ）求三棱锥B1-BDE的体积．

21．（本小题满分12分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大，表示接受能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可以有以下公式：

(1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？(2)开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？

22．（本小题满分14分）已知函数
在
处取得极大值2．

（1）求函数
的解析式； （2）求函数
的极值；

（3）设函数
，若对于任意
，总存在
，使得
，求实数
的取值范围．

东山二中2014届高三上学期期中考文科数学试卷B（参考答案）

一.选择题（12×5分=60分）

二.填空题（4×4分=16分）

13．4 14。
15。 0 16。

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.解：（1）设污损的数据为
，则甲班抽出来的同学的平均成绩为

解得

所以这个污损的数据是
…………………………………………6分

（2）依据题意，甲班
分以上的有
人，编号为
，
，乙班
分以上的有
人，编号为
、
、
，从
位同学中任选
人，所有的情况列举如下：
,
,
,
,
,

,
,
,
,
共10种结果 ……………………………………………………9分

其中两位同学不在同一班的有
,
,
,
,
,
共6种

所以所求概率为
………………………………………12分

19、解：（1）
……1分

……3分
……4分

令
，
∴
，

∴函数
的递减区间为：
……8分

（2）由
得：

……10分

……12分

20．（Ⅰ）证明：取
中点
，连结
，

分别为
的中点，

∴EG//
BB1，…………………………………2 分

三棱柱
，AA1
BB1，D为AA1中点

∴AD

BB1∴EG
AD
四边形
为平行四边形

∴AG//DE ……………………… 4分

又

∴DE//平面ABC；………………………………………………………………… 6分

（Ⅱ）解：∵BB1⊥平面ABC，AG
平面ABC ∴AG⊥BB1，

∵AB=BC，G为BC中点，∴AG⊥BC ∴AG⊥平面B1BE

又DE
AG，∴DE⊥平面B1BE且DE=AG=

∵E为B1C中点 ∴

∴三棱锥B1-BDE的体积
… 12分

22、解：（1）∵函数
在
处取得极大值2

∴
……1分

又

∴

由②式得m=0或n=1，但m=0显然不合题意

∴
，代入①式得m=4

∴
……2分

经检验，当
时，函数
在
处取得极小值2 ……3分

∴函数
的解析式为
……4分

（2）∵函数
的定义域为
且由（1）有

令
，解得：
……5分

∴当x变化时，
的变化情况如下表： ……7分

x



-1



1







—

0

+

0

—





减

极小值-2

增

极大值2

减



∴当
时，函数
有极小值-2；当
时，函数
有极大值2 ……8分

（3）依题意只需
即可．

∵函数
在
时，
；在
时，
且

∴ 由（2）知函数
的大致图象如图所示：

∴当
时，函数
有最小值-2 ……9分

又对任意
，总存在
，使得

∴当
时，
的最小值不大于-2 ……10分