东山二中2014届高三期中考试数学文试题（A卷）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知i为虚数单位，复数
在复平面内对应的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2．已知集合
，则
=（ ）

A.
B.
C.
D.

3．在
中，若
,
，
，则
的面积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

4．设变量x，y满足约束条件
，则
的最大值为 ( )

A．0 B．2 C．3 D．4

5．函数
，则
有（ ）

A. 最小值4 B. 最大值4 C.最小值-4 D. 最大值-4

6．等差数列
中，若
为一确定常数，则下列前n项和也是常数的是（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 函数
的图象是（ ）

8. 设
，
是两条不同的直线，
是一个平面，则下列命题正确的是（ ）

A. 若
，
，则
B. 若
，
，则

C. 若
，
，则
D.若
，
，则

9. 下列命题正确的是( )

A.若
,则
B. 若
则

C.若
,则
D. 若
,则

10．已知函数
的图象在点
处的切线斜率为3，数列
的前n项和为
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

11．已知函数
，且实数
满足
，

若实数
是函数
的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 已知P是函数
图象上的任意一点，M、N为该图象的两个端点， 点
满足
，
（其中0<
<1，i为x轴上的单位向量），若
(T为常数)在区间
上恒成立，则称
在区间
上具有“ T级线性逼近”.现有函数：

①
②
③
则在区间[1，2]上具有“
级线性逼近”的函数的个数为( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

二. 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卷的相应位置上）

13. 如图所示一个空间几何体的三视图(单位：
)则该几何体的

体积为 _______

14．已知m>0,n>0,向量
，且
，则
的最小值是

15．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点，已知∠BAC＝
，AB＝2，AC＝2，PA＝2，异面直线BC与AD所成的角的余弦值

16．设函数
，观察：

……依此类推，归纳推理可得当
且
时，
．

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.（本小题满分12分）某校从参加市联考的甲、乙两班数学成绩110分以上的同学中各随机抽取8人，将这16人的数学成绩编成如下茎叶图.

（Ⅰ）茎叶图中有一个数据污损不清（用△表示），若甲班抽出来的同学平均成绩为122分，试推算这个污损的数据是多少？

（Ⅱ）现要从成绩在130分以上的5位同学中选2位作数学学习方法介绍，请将所有可能的结果列举出来，并求选出的两位同学不在同一个班的概率.

18.（本小题满分12分）设函数

（1）写出函数
的最小正周期及单调递减区间；

（2）当
时，函数
的最大值与最小值的和为
，

19．（本小题满分12分） 已知数列
的前n项和为Sn，满足
（n
N*），

是等差数列，且

（1）求数列
,
的通项公式； （2）求数列
的前n项和Tn。

20．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥
中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面
底面ABCD，且
，若E，F分别为PC，BD的中点．

（1）求证：
平面PAD；

（2）求证：平面
平面PAD；

（3）求四棱锥
的体积．

21．（本小题满分12分）某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第
个月的利润
（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第
个月的当月利润率
，例如：
．

(1)
求
； （2）求第
个月的当月利润率
；

（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．

22．（本小题满分14分）已知函数
在
处取得极大值2．

（1）求函数
的解析式； （2）求函数
的极值；

（3）设函数
，若对于任意
，总存在
，使得
，求实数
的取值范围．

东山二中2014届高三上学期期中考文科数学试卷A（参考答案）

一.选择题（12×5分=60分）

二.填空题（4×4分=16分）

13．4 14。
15。
16。

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.解：（Ⅰ）设污损的数据为
，则甲班抽出来的同学的平均成绩为

解得

所以这个污损的数据是
…………………………………………6分

（Ⅱ）依据题意，甲班
分以上的有
人，编号为
，
，乙班
分以上的有
人，编号为
、
、
，从
位同学中任选
人，所有的情况列举如下：
,
,
,
,
,

,
,
,
,
共10种结果 ……………………………………………………9分

其中两位同学不在同一班的有
,
,
,
,
,
共6种

所以所求概率为
………………………………………12分

20、解：（1）连接EF，AC

∵四棱锥
中，底面ABCD是边长为a的正方形且点F为对角线BD的中点

∴对角线AC经过F点 ……1分

又在
中，点E为PC的中点

∴EF为
的中位线

∴
……2分

又
……3分

∴
平面PAD ……4分

（2）∵底面ABCD是边长为a的正方形

∴
……5分

又侧面
底面ABCD，
，侧面
底面ABCD=AD

∴
……7分 又

∴平面PDC
平面PAD ……8分

（3）过点P作AD的垂线PG，垂足为点G

∵侧面
底面ABCD，
，侧面
底面ABCD=AD

∴
，即PG为四棱锥
的高 ……9分

又
且AD=a ∴
……10分

∴
……12分

（Ⅲ）当
时，
是减函数，此时
的最大值为
9分

当
时，

当且仅当
时，即
时，
，又
，

∴当
时，
…………………………………11分

答：该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为
…12分

22、解：（1）∵函数
在
处取得极小值2

∴
……1分

又
∴

由②式得m=0或n=1，但m=0显然不合题意

∴
，代入①式得m=4 ∴
……2分

经检验，当
时，函数
在
处取得极小值2 ……3分

∴函数
的解析式为
……4分

∴当
时，
的最小值不大于-2 ……10分

又

①当
时，
的最小值为

∴
得
； ……11分

②当
时，
的最小值为

∴
得
； ……12分

③当
时，
的最小值为

∴
得
或

又∵

∴此时a不存在 ……13分

综上所述，a的取值范围是
． ……14分