无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分。请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）

1．设全集
，集合
，则集合
。

2．某高中学校有高一学生600人，高二学生500人，高三学生500人，现通过分层抽样抽取一个容量为320的样本，则高三学生应抽取的人数为 。

3．若复数
是纯情虚数（
是虚数单位），则
的值为 。

4．已知
为正整数，
，则
的概率为 。

5．执行如图所示的程序框图，那么输出
为 。

6．长方体
中，
，则四面体
的体积为 。

7．若中心在原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线
，离心率为
，且过点
，则曲线
的方程为 。

8．记等差数列的前
项和为
，
，则
最大的
是 。

9．直线
与圆
相交于
两点，若
，则
的取值范围是 。

10．将函数
的图象向左平移
个单位后得到的图象对应的解析式为
，则符合条件的绝对值最小的
角是 。

11．在
中，
为
的的三等分点，
为
的中点，
与
交于点
，
，则
。

12．定义运算
，则关于正实数
的不等式
的解集为 。

13．定义在
上的奇函数
，当
时，
，则函数
的所有零点之和为 。

14．设实数
满足
，且
的图像上存在两条切线垂直，则
的取值范围是 。

二、解答题：（本在题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15．（本小题14分）

已知向量
的夹角为
，则
，又
。

（1）求
与
的夹角；（2）设
，若
，求实数
的值。

16．（本小题14分）

在三棱锥
中，平面
平面
为
的中点，
分别为棱
上的点，且
。

（1）求证：
平面
； （2）若
平面
，则
的值。

17．（本小题14分）

在
中，角
所对的边分别为
，函数
在
处取得最大值。

（1）当
时，求函数
的值域；

（2）若
且
，求
的面积。

18．（本小题14分）

已知等比数列
的公比
，前
项和为
成等差数列，数列
的前
项和为
，其中
。

（1）求数列
的通项公式； （2）求数列
的通项公式；

（3）设
，求集合
中所有元素之和。

19．（本小题14分）

已知图形
是由不等式组
，围成的图形，其中曲线段
的方程为
，
为曲线上的任一点。

（1）证明：直线
与曲线段相切；

（2）若过
点作曲线的切线交图形的边界于
，求图形被切线所截得的左上部分的面积的最小值。

20．（本小题14分）

已知实数
，函数
。

（1）当
时，讨论函数
的单调性；

（2）若
在区间
上是增函数，求实数
的取值范围；

（3）若当
时，函数
图象上的点均在不等式
，所表示的平面区域内，求实数
的取值范围。

参考答案

一、填空题

1．

2．100

3．2

4．

5．5

6．6

7．

8．6

9．

10．

11．

12．

13．

14．

二、解答题

15．