揭阳一中2014届高三上学期期中考试数学（理）试题

本试卷共4页，21题，满分150分。考试时间为120分钟。

注意事项：

1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。

2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。

3、答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题（满分40分）

1.已知命题
：
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

2.已知
且
，则“
”是 “
>1”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3.设全集U=R，A=
，则 右图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．若函数
的图象的顶点在第四象限，则函数
的图象是（ ）

5. 若
满足约束条件
,则
的最小值为（ )

A．20 B．22 C．24 D．28

6. 将函数
的图象上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变）， 再将所得的图象向左平移
个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）

A．
B．

C.
D.

7. 已知定义在R上的周期为2的偶函数
，当
时,
,则
在区间
内零点的个数为（　 　）

A．3019 B．2020 C． 3021 D．3022

8．在△ABC中，E、F分别为AB，AC中点．P为EF上任一点，实数x，y满足
+x
+y
=
．设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，
，
，
，记
，
，
，则当
2·
3取最大值时，2x+y的值为（ ）

A．－1 B．1 C．－
D．

二、填空题（满分30分）

（一）必做题 第9至13题为必做题, 每道试题考生都必须作答．

9．在

10．函数
的最小值为

11．设数列
都是等差数列,若
，则
_____

12．若函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则函数
的解析式为__________________

13．定义：如果函数
在定义域内给定区间
上存在
，满足
，则称函数
是
上的“平均值函数”，
是它的一个均值点。例如
是
上的平均值函数，0就是它的均值点。现有函数
是
上的平均值函数，则实数
的取值范围是

（二）选做题 第14、15题为选做题, 考生只能选做其中一题, 两题全答的, 只计前一题的得分。

14．以极坐标系中的点
为圆心，1为半径的圆的方程是

15．如图，
切⊙
于点
，割线
经过圆心
，

弦
⊥
于点
，
，
，则

_______.

三、解答题（本大题共6小题，满分80分）

16．（本题满分12分）

已知
，
，函数
，
．

（Ⅰ）求函数
的零点的集合；

（Ⅱ）求函数
的最小正周期及其单调增区间.

17．（本题满分14分）

在
中，已知内角
，边
.设内角
，
的面积为
.

（Ⅰ）求函数
的解析式和定义域；

（Ⅱ）求函数
的值域.

18．（本小题满分12分）

设
，d为实数，首项为
，公差为d的等差数列
的前n项和为
，满足
，（Ⅰ）求通项
及
；

（Ⅱ）设
是首项为1，公比为3的等比数列，求数列
的通项公式及其前
项和
.

19．（本小题满分14分）

在一般情况下，大桥上的车流速度
（单位：千米/小时）是车流密度
（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当
时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当
时，车流速度
是车流密度
的一次函数．

（Ⅰ）当
时，求函数
的表达式；

（Ⅱ）当车流密度
为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）
可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

20.（本小题满分14分）

已知函数
，
，其中
为常数，
，函数
和
的图像在它们与坐标轴交点处的切线分别为
，
，且

（Ⅰ）求常数
的值及
，
的方程；

（Ⅱ）求证：对于函数
和
公共定义域内的任意实数
，有
；

（Ⅲ）若存在
使不等式
成立，求实数
的取值范围。

21．（本小题满分14分）

设函数
.（Ⅰ）求函数
的单调区间

（Ⅱ）若函数
有两个零点
，
，且
，求证：

2013-2014学年度第一学期高三期中考联考

理科数学试题参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

B

B

A

B

C

D

D



二、填空题：

9、 3 10、 2 11、 35 12、
13、

14、
15、 4.8

三、解答题：

16（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
…………3分

由
得
即
…………5分

故函数
的零点的集合为
…………6分

（Ⅱ）

…………8分

∴函数
的最小周期
…………9分

由
得
……11分

故函数
的单调增区间为
…………12分

17（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
的内角和

………5分

……………7分

（Ⅱ）

………………………11分

…………………12分

…………………13分

即值域为
………………………14分

18（本小题满分12分）

解：（1）由
及
，有
………………………1分

有
解得
………………………4分

……………………………5分

…………………………6分

（2）由题意有
，又由（1）有
………8分

…12分

19（本小题满分14分）

（Ⅰ）由题意：当
时，
；

当
时，设
， ……………2分

显然
在
是减函数，由已知得
，解得

故函数
的表达式为
=
……………6分

（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得

当
时，
最大值为
； ……………9分

当
时，
，

当且仅当
，即
时，等号成立．

所以，当
时，
在区间
上取得最大值
…………13分

综上，当
时，
在区间
上取得最大值约为3333辆/小时．…………14分

20(本小题满分14分)

（Ⅰ）
与坐标轴的交点为
，
，
与坐标轴交点为
，

，解得
，又
，故
…………………………………3分

方程：
，
方程：
…………………………………5分

（Ⅱ）函数
和
公共定义域为
， …………………………………6分

.令
，则

在
上是增函数.故
，即
① ……………8分

令
，则

当
时，
；当
时，

有最大值
，因此
②

由①②，得
，即

……………………………… 10分

（Ⅲ）
可化为
……………………………… 11分

令
，则

，

且
，故

在
是减函数，因此

实数
的取值范围是
…………………………………………14分

21（本小题满分14分）

（Ⅰ）



……2分

当
时，
，函数
在
上单调递增，

所以函数
的单调递增区间为
…………………………4分

当
时，由
，得
；由
，得

所以函数的单调增区间为
，单调减区间为
…………………………6分

（Ⅱ）因为
是函数