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汕头四中2014届高三第二次月考数学（理）试题 注意事项： 1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交. 5、不可以使用计算器. 参考公式：回归直线，其中. 锥体的体积公式：,其中S表示底面积，h表示高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 2.复数在复平面上对应的点位于 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知平面向量，，且，则向量( ) A. B. C. D. 4.已知直线与直线平行且与圆：相切,则直线的方程是( ) A. B. 或 C. D. 或 5.对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是( ) A.若,则 B.若,则 C.若则 D.若,则 6.不等式组表示的平面区域的面积是( ) A. B. 0 C. D. 7.已知函数，若过点且与曲线相切的切线方程为，则实数的值是( ) A. B. C.6 D.9 8.对于任意两个正整数,定义某种运算“※”如下:当都为正偶数或正奇数时,※=;当中一个为正偶数,另一个为正奇数时,※=.则在此定义下,集合※中的元素个数是( ) A.10个 B.15个 C.16个 D.18个 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分． （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9.右图是某高三学生进入高中三年来第次到次的数学考试成绩 茎叶图, 根据茎叶图计算数据的中位数为 . 10.已知等差数列{},满足,则此数列的前项 的和 . 11.已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角 . 12.设是上的奇函数,. 当时有, 则 . 13.一物体在力(单位：)的作用下沿与力相同的方向, 从处运动到 (单位：)处,则力做的功为 焦. 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆的圆心到直线 的距离是 . 15.（几何证明选讲选做题）如图,为圆直径,切圆于点, , ,则等于 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数. (1)求的最大值和最小正周期； (2)?若，是第二象限的角，求. 17.（本小题满分12分）某社团组织名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动,活动内容是：1、到各社区宣传慰问,倡导文明新风；2、到指定的医院、福利院做义工,帮助那些需要帮助的人.各位志 (1) 分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取6名,年龄大于40岁的应该抽取几名? (2) 上述抽取的6名志愿者中任取2名,求选到的志愿者年龄大于40岁的人数的数学期望. 18.（本小题满分14分）如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且,,是的中点. (1)求点到面的距离； (2)求二面角的正弦值. 19.（本小题满分14分）已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且成等比数列. （1） 求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：. 20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形． （1）求椭圆的离心率； （2）设直线与椭圆相交于两点，是 直线上的点，满足， 求点的轨迹方程． 21.（本小题满分14分）已知二次函数,且不等式的解集为. (1)方程有两个相等的实根,求的解析式. (2) 的最小值不大于,求实数的取值范围. (3) 如何取值时,函数()存在零点,并求出零点. 汕头四中2013—2014学年度高三级第二次月考试卷 1.【解析】，故，故选C. 2.【解析】，所以点（位于第二象限.故选B. 3.【解析】∵,∴,∴.故选A. 4.【解析】圆的圆心为,半径为,因为直线,所以,设直线 的方程为,由题意得或. 所以,直线的方程或.故选D. 【解析】对于平面、、和直线、,真命题是“若, 则”.故选C 6.【解析】不等式组表示的可行域如图所示， 故面积为.故选A. 7.【解析】设切点为，则 ①， ∵，又切线l过A、M两点， ∴则 ② 联立①、②可解得，从而实数的值为故选D. 8.【解析】从定义出发,抓住的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键,当同奇偶时,根据※=将12分拆两个同奇偶数的和,当一奇一偶时,根据※=将12分拆一个奇数与一个偶数的积,再算其组数即可. 若同奇偶,有,前面的每种可以交换位置,最后一种只有1个点,这时有; 若一奇一偶,有,每种可以交换位置,这时有; ∴共有个.故选B 二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9．94.5 10．35 11． （或） 12． 13．36 14． 15． 5 11.【解析】直线与直线垂直得，. 12.【解析】 . 13.【解析】 14.【解析】由得圆为,圆的圆心直线的直角坐标方程为，所以点到直线的距离是. 15.【解析】连接,切圆于点,.又，是中点，. 三、解答题： 16.解(1)∵ ………………………4分 ∴的最大值为2,……5分，最小正周期为 ………6分 (2)由(1)知, 所以,即 ………………………8分 又是第二象限的角,所以……10分 所以 ………12分 17解：(1)若在做义工的志愿者中随机抽取6名,则抽取比例为……………2分 ∴ 年龄大于40岁的应该抽取人. ………………………4分 (2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为, ∵ 6名志愿者中有2人的年龄大于40岁,其余4人的年龄在20到40岁之间, ∴ 可能的取值为. ………………………5分 则,, ………8分 ∴的分布列为
………10分 ∴ 的数学期望为 ………12分 18（本小题满分14分）解: (1)取的中点,连、 、 则面,的长就是所要求的距离. ………………………3分 、, ,在直角三角形中,有…6分 （另解:由
(2)连结并延长交于,连结、. 则就是所求二面角的平面角. ……………9分 作于,则 在直角三角形中, 在直角三角形中,……………12分 ,故所求的正弦值是 ……………14分 方法二: (1)以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系. 则有、、、……2分 设平面的法向量为 则由 由,……4分 则点到面的距离为……6分
则<>. ……………13分 结合图形可知,二面角的正弦值是 ……………14分 19.（本题满分14分）解：（1）数列是等差数列且， . ①…2分 成等比数列，即②………4分 由①，②解得或…………5分 ………6分 （2）证明;由（1）可得， …………7分 所以. …………8分 所以 . …………10分 ，. …………11分 ，数列是递增数列，.………13分 . …………14分 20解：（1）设， 由题意,可得,即， ……………2分 整理得，得(舍)或，所以. ……………4分 （2）由（1）知,可得椭圆方程为. 直线方程为 ……………………………………………5分 两点的坐标满足方程组,消去y并整理得……6分 解得得方程组的解 ……………………8分 不妨设,设的坐标为则 ， …………10分 由得. 于是 …………11分 由得， 化简得， ………………………………13分 将代入得， 由得.因此,点的轨迹方程是. …14分 21解：∵的解集为, ∴的解集为, ……………………1分 ∴,且方程的两根为 即，∴ ……2分 （1）∵方程有两个相等的实根,即有两个相等的实根 ∴, ∴或 …………3分 ∵,∴, ∴ …………4分 （2） ∵,∴的最小值为, ……………………5分 则,,解得, …………7分 ∵,∴ ………………………………8分 （3）由,得 (※) ①当时,方程(※) 有一解, 函数有一零点； ……………………9分 ②当时, 方程(※)有一解, 令 得, ， i)当，时，（（负根舍去）），函数有一零点. ……………10分 ii) 当时，的两根都为正数，当或时，函数有一零点.11分 ⅲ) 当时，， ③方程(※)有二解, 若,，时, （（负根舍去）），函数 有两个零点； …12分 函数有两个零点。……13分 ⅲ) 当时，，恒成立， 取大于0()的任意数，函数有两个零点 …14分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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