汕头市聿怀中学2014届高三上学期期中考试

数学（理）试题

第一部分 选择题（本试卷平均分84.5分）

一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑。

1．设集合
，则
的取值范围为

A．
B．
C．
D．

2．若
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

3．若
，则
的值为

A．1 B．2 C．3 D．4

4. 如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的程

序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入

A．P＝　　　　　　　B．P＝

C．P＝ D．P＝

5．下列命题：①若
，
为两个命题，则“
且
为真”

是“
或
为真”的必要不充分条件；

②若
为：
，则
为：
；

③命题
为真命题，命题
为假命题。则命题
，
都是真命题；

④命题“若
，则
”的逆否命题是“若
，则
”.其中正确结论的个数是

A．1 B. 2 C.3 D.4

6．函数
的零点所在的大致区间是

A．(0，1) B．(1 ，2) C．(2，e) D．(3，4)

7．已知函数
是定义在实数集R上的奇函数，且当
时
成立（其中
的导函数），若
，
，
则
的大小关系是

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
，函数

，若存

第二部分 非选择题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9.某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人．

10. 已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n)2013＝________.

11．已知
，则
的值为　 　 　 　 　 　 　 ．

12.已知x与y之间的一组数据：

x

0

1

2

3



y

m

3

5.5

7



已求得关于y与x的线性回归方程＝2.1x＋0.85，则m的值为

13.如图所示的茎叶图记录了一组数据，关于这组数据，①众数是9； ②平均数是10；

③中位数是9或10； ④标准差是3.4.

0

7

8

9

9

9



1

0

1

2

2

3



其中说法正确的序号是________．

14．如果函数
在区间
上有且仅有一条平行于
轴的对称轴，则
的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分12分）

设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．

（Ⅰ）求(?IM)∩N；

（Ⅱ）记集合A＝(?IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围．

16．（本小题满分13分）

某校高三数学竞赛初赛后，对考生成绩进行统计(考生成绩均不低于90分，满分150分)，将成绩按如下方式分成六组，第一组[90,100)，第二组[100,110)，……，第六组[140,150]．如图所示为其频率分布直方图的一部分，第四组，第五组，第六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．

（Ⅰ）请补充完整频率分布直方图，并估计这组

数据的平均数M；(计算时可以用组中值代替各组

数据的平均值)

（Ⅱ）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意

选2人，记他们的成绩分别为x，y，若|x－y|≥10，

则称此2人为“黄金帮扶组”，试求选出的2人为“黄金帮扶组”的概率．

17．（本小题满分13分）

已知函数
,
.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期;

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值和最小值.

18．（本小题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）当
时，求证函数
上是增函数；

（Ⅱ）当a=3时，求函数
在区间[0，b]上的最大值。

19. （本小题满分14分）

如图，在矩型 OEFG中，A、B是边EF或边FG上不同的两点（可以A在边EF上，B在边FG上），且∠AOB=45°,OE=1,EF=
，设∠AOE=α.

（Ⅰ）写出△AOB的面积关于α的函数关系式f(α);

（Ⅱ）写出函数f(α)的取值范围。

20. （本小题满分14分）

已知函数
．

(Ⅰ)若
是函数
的极值点，求曲线
在点
处的切线方程；

(Ⅱ)若函数
在
上为单调增函数，求
的取值范围；

(Ⅲ)设
为正实数，且
，求证：
．

汕头市聿怀中学2013-2014高三数学期中考试

理科数学参考答案

三、解答题：

15.解：（Ⅰ）∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，

N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，

∴?IM＝{x|x∈R且x≠－3}，∴(?IM)∩N＝{2}． ………5分

（Ⅱ）A＝(?IM)∩N＝{2}，

∵A∪B＝A，∴B?A，∴B＝?或B＝{2}， ………7分

当B＝?时，a－1>5－a，∴a>3； ………9分

当B＝{2}时，解得a＝3， ………11分

综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}． ………12分

（Ⅱ）依题意，知第四组人数为4×＝12，而第六组有4人， ………8分

所以第四组和第六组一共有16人，从中任选2人，一共有C＝120(种)选法， ……10分

若满足|x－y|≥10，则一定是分别从两个小组中各选1人，因此有CC＝48(种)选法，…12分

所以选出的2人为“黄金帮扶组”的概率P＝＝. ………13分

17．解：（Ⅰ）

………6分

所以,
的最小正周期
. ………8分

（Ⅱ）因为
在区间
上是增函数,在区间
上是减函数, ………10分

又
,
, ………12分

故函数
在区间
上的最大值为
,最小值为
. ………13分

18. (Ⅰ)
时，
故
在R上是增函数。(4分)

(Ⅱ)
时，
-----------6分

①若
时，
得：
-----------7分

(1)若
时，
在[0，b]上单增，故
-------9分

(2)若
时，因
故
.-----11分

②若
时，由①知
在
上的最大值为2，下求
在
上的最大值，因
，故

又
------------13分

综合①、② 知：
------------14分

19.解 （Ⅰ）∵OE=1，EF=
∴∠EOF=60°

当α∈[0，15°]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上，且AE=tanα,BE=tan(45°+α)

∴f(α)=S△AOB=
[tan(45°+α)－tanα]

=
=
------------2分

综上得：

f(α)=
----------7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当α∈[0，
]时f(α)=
∈[
,
－1]

且当α=0时，f(α)min=
；α=
时，f(α)max=
－1 ----------10分

当α∈
时,－
≤2α－
≤

f（α）=
∈[
－
,
] ------------13分

且当α=
时，f(α) min=
－
；当α=
时，f(α) max=

所以f(α) ∈[
,
]。 ------------14分

20．解: （Ⅰ）

……2分

由题意知
，代入得
，经检验，符合题意。

从而切线斜率

，切点为
，

切线方程为
………4分

（Ⅱ）

因为
上为单调增函数，所以
上恒成立.

所以
的取值范围是
………8分

（Ⅲ）要证
，只需证
，

即证
只需证

………14分