汕头市聿怀中学2014届高三上学期期中考试

数学（文）试题

一、选择题：（本大题共12小题，每小题５分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．设
（i是虚数单位），则
等于 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

２． 若
的终边一定落在直线 （ ）上

A．
B．

C．
D．

３．函数
的定义域为（ ）

　 A．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
　

４．某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，

则可以输出的函数是（ ）

A．
　B．

C．
　D．

５．已知命题
，

命题
的解集是
，下列结论，其中正确的是（ ）

A．命题“
”是真命题 　 B．命题“
”是真命题

C．命题“
”是真命题　 D．命题“
”是假命题

6． 已知函数
在R上可导，且
，则
与
的大小关系是( )

A．
B．
C．
D．不确定

7．设
，则
的大小关系是 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

８．函数
的零点个数为 （ ）

A.1个 B. 2个 C.3个 D. 4个

9．函数
在定义域R上不是常数函数，且
满足条件：对任意
R，都有
, 则
是 （ ）

A. 奇函数非偶函数 B. 偶函数非奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D. 是非奇非偶函数

10．若函数
在区间
上的最大值为4， 则
的值为 （ ）

A．1 B．-1 C．1或–1 D．0

11．如右图，函数f(x)＝ln x－x2的图象大致是 (　　)

12．已知函数
，则函数

的零点个数是 （ ） A.4 B.3 C.2 D.1

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

13．计算：

14．已知
，则
=_______ .

15．定义在
上的函数
，如果
，则实数
的取值范围为　　　　　　

16. 对于函数
. 若
有六个不同的单调区间，则
的取值范围为

选做题（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

17．（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点P为方程
所表示的曲线上一动点，点
，则｜PQ｜的最小值为＿＿＿

18. (几何证明选做题) 已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线 AD和

割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB＝3，则切线AD的长为___ ___．

三、解答题：（本大题共5小题，共65分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.）

20．（ 13分）某高校组织的自主招生考试，共有1000名同学参加笔试，成绩均介于60分到100分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分为4组：第1组 [60,70），第2组[70,80），第3组[80,90），第4组[90,100]. 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在85分（含85分）以上的同学有面试资格.

（Ⅰ）估计所有参加笔试的1000名同学中，有面试资格的人数；

（Ⅱ）已知某中学有甲、乙两位同学取得面试资格，且甲的笔试比

乙的高；面试时，要求每人回答两个问题，假设甲、乙两人对每一

个问题答对的概率均为
；若甲答对题的个数不少于乙，则甲比乙

优先获得高考加分资格.求甲比乙优先获得高考加分资格的概率.

21. （13分）设函数
. （Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）若
，且
在区间
内存在极值，求整数
的值.

22．（本题满分13分）已知函数
．

（Ⅰ）试判断函数
的单调性，并说明理由；

（Ⅱ）若
恒成立，求实数
的取值范围．

聿怀中学高三数学（文科）期中考试答案

三、解答题：（共65分）

19．（12分）解：（1）因为

…（3分）

…（5分）

所以
的最小正周期为
…（6分）

20．（13分）解：（Ⅰ）设第
组的频率为
，则由频率分布直方图知

…………………（2分）

所以成绩在85分以上的同学的概率P≈
…（5分）

故这1000名同学中，取得面试资格的约有1000×0.38=380人.…（6分）

（Ⅱ）设答对记为1，打错记为0，则所有可能的情况有：

甲00乙00，甲00乙10，甲00乙01，甲00乙11，甲10乙00，甲10乙10，甲10乙01，

甲10乙11，甲01乙00，甲01乙10，甲01乙01，甲01乙11，甲11乙00，甲11乙10，

甲11乙01，甲11乙11，共16个………………………………………（9分）

甲答对题的个数不少于乙的情况有：

甲00乙00，甲10乙00，甲10乙10，甲10乙01，甲01乙00，甲01乙10，甲01乙01，

甲11乙00，甲11乙01，甲11乙10，甲11乙11，共11个……………（12分）

故甲比乙优先获得高考加分资格的概率为
.………………………（13分）

21．（13分）解：（Ⅰ）由已知
.……（1分）

当
时，
函数
在
内单调递增；……（2分）

当
时，由
得
∴
；……………（3分）

由
得
∴
.……………………（4分）

∴
在
内单调递增，在
内单调递减.…………（5分）

（Ⅱ）当
时，

∴
………………………………（6分）

令
，

则
∴
在
内单调递减.……………（8分）

∵

…………………………（10分）

∴
即
在（3,4）内有零点，即
在（3,4）内存在极值. …… （11分）

又∵
在
上存在极值，且
，∴k=3.……………（13分）

22．（13分）解：（I）
? （2分） ，

?（3分）

， 故
在
递减 （5分）

?? （II）
? （7分）

记

（9分）

??? 再令
?

在
上递增。（11分）

?
，从而
?故
在
上也单调递增

（13分）

23．（14分） 解: (1)
; （5分）

(2) 当
时,
,

（7分）

当
,
在
上递减,故
无最大值,不合题意. （13分）

综上所述,存在实数
,使得当
时,
有最大值1. （14分）