玉溪一中2014届高三上学期期中考试数学试题（文科）

班级 姓名

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是

A. 1 B. 3 C. 4 D. 8

2.若复数
（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为

A. －2 B. 6 C. 4 D. －6

3.下列命题中是假命题的是

A.
x∈(0，
)，x＞sinx B.
x0∈R，sinx0＋cosx0＝2

C.
x∈R，3x＞0 D.
x0∈R，lgx0＝0

4.函数f(x)＝
－cosx在[0，＋∞)内

A.没有零点 B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点

5.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和.若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为
，则S5＝

A. 35 B. 33 C. 31 D. 29

6.已知
，
，若向区域
上随机投一点P，则点P落入区域
的概率为

A.
B.
C.
D.

7.函数y＝sin(ωx＋φ)（ω＞0且|φ|＜
）在区间[
，
]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为

A.
B.
C.
D.

8.设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为

A. 1
B.
C.
D.

9.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的[来源:学§科§网Z§X§X§K]

表面积为

A. 8π B. 6π
C. 4π D. 2π

10.已知椭圆C1：
＋
＝1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2－
＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点.若C1恰好将线段AB三等分，则

A. a2＝
B. a2＝13 C. b2＝
D. b2＝2

11.已知
函数f(x)＝ex＋x.对于曲线y＝f(x)上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形.

其中，正确的判断是

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

12.函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数.设函数f(x)在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)＝0；②f(
)＝
f(x)；③f(1－x)＝1－f(x).则f(
)＋f(
)＝

A.
B.
C. 1 D.

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若函数

为偶函数，则
的最小正值是 ．

14.若以双曲线
－y2＝1的右顶点为圆心的圆恰与双曲线的渐近线相切，则圆的标准方程是 .

15.△
的内角
、
、
的对边分别为
、
、
，
三边长
、
、
成等比数列，且
，则
的值为_________.

16.已知直线
与曲线
交于A、B两点，当
时，点
到直线
距离的最小值等于 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
＝
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若cosB＝
，b＝2，求△ABC的面积S.

18.（本小题满分12分）

为了对廉租房的实施办法进行研究，用分层抽样的方法从A，B，C三个片区的相关家庭中，抽取若干户家庭进行调研，有关数据见下表（单位：户）

片区

相关家庭户数

抽取家庭户数



A

34

2



B

17





C

68





（Ⅰ）求
，
；

（Ⅱ）若从B、C两个片区抽取的家庭中随机选2户家庭参加实施办法的听证会，求这2户家庭都来自C片区的概率．

19.（本小题满分12分）

如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2

的正方形，AE＝EB，点F在CE上，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B—AC—E的正弦值；

（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.

20.（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2.

（Ⅰ）求函数f(x)在[t，t＋2]（t＞0）上的最小值；

（Ⅱ）若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象恰有一个公共点，求实数a的值.[来源:学科网ZXXK]

21.（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）若
，求
的单调区间；

（Ⅱ）是否存在实数
，使
对
恒成立？若存在，求出
的值；若不存在，请说出理由.

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆C的方程是p＝4，直线l的方程是psin(θ＋
)＝3，求圆C上的点到直线l的距离的最大值.

23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数f(x)＝|x－2a|，a∈R.

（Ⅰ）若不等式f(x)＜1的解集为{x|1
＜x＜3}，求a的值；

（Ⅱ）若存在x0∈R，使f(x0)＋x0＜3，求a的取值范围.

玉溪一中2014届高三上学期期中考试数学试题（文科）

参考答案

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.

1. C ； 2. D ； 3. B ； 4. B ；
5. C ； 6. B ；

7. A ； 8. D ； 9. A ； 10. C ； 11. B ； 12. A .

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.
； 14. (x－2)2＋y2＝
；
15.
； 16.

三、解答题：本大题共6个小题，共70分.

17.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由正弦定理，设
＝
＝
＝k，

则
＝
＝
，

所以
＝
，

即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，

化简可得sin(A＋
B)＝2sin(B＋C).

又A＋B＋C＝π，

所以sinC＝2sinA.

因此
＝2.

（Ⅱ）由
＝2得c＝2a.

由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝
，b＝2，

得4＝a2＋
4a2－4a2×
.

解得a＝1，从而c＝2.

又因为cosB＝
，且0＜B＜π，所以sinB＝
，

因此S＝
acsinB＝
×1×2×
＝
.[来源:学科网ZXXK]

18.（本小题满分12分）

解: （Ⅰ）由题意可得：
，所以
，
；………………4分

（Ⅱ）记从B片区抽取的一户家庭为b, 从C片
区抽取的4户家庭为c1，c2，c3，c4，则从B、C两个片区抽取的5户家庭中随机选2户家庭参加听证会的基本事件有（b, c1），（b, c2），（b, c3），（b, c4），

（c1, c2），（c1, c3），（c1, c4），（c2, c3），（c2, c4），（c3, c4）共10种．

选中的2户家庭都来自C片区的基本事件有（c1, c2），（c1
, c3），（c1, c4），（c2, c3），（c2, c4），（c3, c4）共6种．

所以，选中的2户家庭都来自C片区的概率为：
．……………12分

19.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵ BF⊥平面AEC，∴ BF⊥AE，

∵ 二面角D—AB—E为直二面角，

∴ 平面ABCD⊥平面ABE，

又BC⊥AB，∴ BC⊥平面ABE，∴ BC⊥AE，

又BF∩BC＝B，∴ AE⊥平面BCE.

（Ⅱ）连接BD交AC于点G，连接FG，

∵ 四边形ABCD为正方形，∴ BD⊥AC，

∵ BF⊥平面ACE，∴ BF⊥AC，

又BD∩BF＝B，∴ AC⊥平面BFG.

∴ FG⊥AC，∠FGB为二面角B—AC—E的平面角，由（Ⅰ）可知，AE⊥平面BCE，

∴ AE⊥EB，又AE＝EB，AB＝2，∴ AE＝BE＝
，

在直角三角形BCE中，CE＝
＝
，BF＝
＝
＝
，

在正方形ABCD中，BG＝
，

在直角三角形BFG中，sin∠FGB＝
＝
＝
.

即二面角B—AC—E的正弦值为
.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，在正方形ABCD中，BG＝DG，点D到平面ACE的距离等于点B到平面ACE的距离，而BF⊥平面ACE，则线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为点D到平面ACE的距离.故点D到平面ACE的距离为
＝
.

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）令f′(x)＝lnx＋1＝0得x＝
，

① 当0＜t＜
时，函数f(x)在(t，
)上单调递减，在(
，t＋2)上单调递增，

此时函数f(x)在区间[t，t＋2]上的最小值为f(
)＝－
；

② 当t≥
时，函数f(x)在[t，t＋2]上单调递增，

此时函数f(x)在区间[t，t＋2]上的最小值为f(t)＝tlnt.

（Ⅱ）由题意得，f(x)－g(x)＝xlnx＋x2－ax＋2＝0在(0，＋∞)上有且仅有一个根，即a＝lnx＋x＋
在(0，＋∞)上有且仅有一个根，

令h(x)＝lnx＋x＋
，则h′(x)＝
＋1－
＝
＝
(x＋2)(x－1)，

易知h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

所以a＝h(x)min＝h(1)＝3.

21.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
，由
得
，













0[来源:学科网ZXXK]






[来源:学科网]

↓

极大

↑




在
单调减，
在
单调增，……………………………4分

（Ⅱ）
对
恒成立等价于
对
恒成立，

令
，显然有
，

，……………………………………………………………6分

当
时，
，

时
，
单调减，
时
，
单调增

在
取得最小值，
，
恒成立

当
时，
在
单调减，当

时，

当
时，
在
单调增，当

时，

当
时，
，
在
上单调增，当
时，

所以，存在
使
对
恒成立…………………………………12分

22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

解：以极点为坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系，易得圆C的直角坐标方程是x2＋y2＝16，

直线l的直角坐标方程是
y＋x－6＝0，

圆心C(0，0)到直线l的距离d＝
＝3，

∴ 圆C
上的点到直线l的距离的最大值为3＋4＝7.

23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

解：（Ⅰ）由题意可得|x－2a|＜1可化为2a－1＜x＜2a＋1，

即
，解得a＝1.

（Ⅱ）令g(x)＝f(x)＋x＝|x－2a|＋x＝
，

所以函数g(x)＝f(x)＋x的最小值为2a，

根据题意可得2a＜3，即a＜
，

所以a的取值范围为(－∞，
).