高三数学（理科）期中试题

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分）

1．设集合
，则
=( )

A．
B．
C．
D．

2.若
为等差数列，
是其前
项和，且
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

3．下列四个命题中的真命题为（ ）

A.
，使得
B.
，总有

C.

，

，
D.
，

，

4．若
，则
的值是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6

5.将函数
的图象上所有的点向右平行移动
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的
倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是（ ）

A．
B．

C．
D．

6.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为

则正视图中x的值为（ ）

A．5 B．3 C．4 D．2

7．若直线
与
的交点在第一象限，则直线
的倾斜角的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

8．若正数
，
满足
，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.如图，
中，
，
，
与
交于
，设
，
，
，则
为（ ）

A.
B.
C.
D.

10.不等式
的解集为
，且
，则实数
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

11．在正三棱锥
中，
、
分别是
、
的中点，且
，若侧棱
，则正三棱锥
外接球的表面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．对于正实数
，记
为满足下列条件的函数
构成的集合：
，且
有
，下列结论中正确的是（ ）

A.若
，
,则

B. 若
，
,且
，则

C. 若
，
,且
则

D. 若
，
,则

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上。)

13．已知直线
与
互相垂直，则
.

14．不等式组
表示的是一个对称四边形围成的区域，则
.

15.已知等差数列
，
的前n项和为
，
，若对于任意的自然数
，都有
则
= .

16. 在
中，角
所对的边分别为
，且
，当
取最大值时，角
的值为 .

三、解答题（本题共6小题，共70分）

17. （本题满分10分）

设集合
为函数
的定义域，集合
为函数
的值域，集合
为不等式
的解集．

(1)求
；

(2)若
，求
的取值范围．

18．（本题满分12分）

已知向量
，设函数
＋1

（1）若
，
,求
的值；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是
，且满足
，求

的取值范围．

19. （本小题满分12分）

已知定点
，
,直线
(
为常数).

（1）若点
、
到直线
的距离相等，求实数
的值；

（2）对于
上任意一点
，
恒为锐角，求实数
的取值范围.

20．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，
是正三角形，四边形

是矩形，且平面
平面
，
，
．

（1）若点
是
的中点，求证：
平面
；

（2）试问点
在线段
上什么位置时，二面角

的余弦值为
.

21．（本小题满分12分）

已知数列
满足

(1) 求证:数列
的奇数项,偶数项均构成等差数列;

(2) 求
的通项公式;

(3) 设
，求数列
的前
项和
.

22. （本小题满分12分）

已知函数
上为增函数，且
，
，
．

（1）求
的值；

（2）当
时，求函数
的单调区间和极值；

（3）若在
上至少存在一个
，使得
成立，求
的取值范围．

高三数学（理科）期中试题答案

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

B

D

A

C

B

B

C

A

A

C

D



二、填空题（本大题包括4小题每小题5分，共20分）

13．2或-3 14.
15.
16.

三、解答题（本题共6小题，共70分）

17． 解：(1)由－x2－2x＋8>0，解得A＝(－4,2)，又y＝x＋＝(x＋1)＋－1，

所以B＝(－∞，－3]∪ [1，＋∞)．所以A∩B＝(－4，－3]∪[1,2)．

(2)因为?RA＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)．由(x＋4)≤0，知a≠0.

①当a>0时，由(x＋4)≤0，得C＝，不满足C??RA；

②当a<0时，由(x＋4)≥0，得C＝(－∞，－4)∪，

欲使C??RA，则≥2，解得－≤a<0或0

综上所述，所求a的取值范围是.

18.

19. (1)∵点M,N到直线l的距离相等，

∴l∥MN或l过MN的中点.

∵M(0,2),N(-2,0)，

∴kMN=1，MN的中点坐标为C(-1,1).

又∵直线l:kx-y-2k+2=0过点D(2,2),

当l∥MN时，k=kMN=1,

当l过MN的中点时，k=kCD=
,

综上可知：k的值为1或
.

(2)∵对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，

∴l与以MN为直径的圆相离，即圆心到直线l的距离大于半径，

解得：k＜
或k＞1.

20.（I）由
-----①得
----------②

② 减 ① 得

所以数列
的奇数项,偶数项均构成等差数列，且公差都为4.

21．（Ⅰ）证明：设
，
交于点
，连接
，易知
为
的中位线，故
，又
平面
，
平面
，得
平面
．………4分

（Ⅱ）解：如图，建立空间直角坐标系
，

在
中，斜边
，
，得
∴
,
,
．

设
，得
．

22. 解答：（1）由已知
在
上恒成立，

即
，∵
，∴
，

故
在
上恒成立，只需
，

即
，∴只有
，由
知
； ……………………4分

（2）∵
，∴
，
，

∴
，

令
，则

，

∴
，
和
的变化情况如下表：











+

0









极大值





 即函数的单调递增区间是
，递减区间为
，

有极大值
； ……………………7分

（3）令
，

当
时，由
有
，且
，

∴此时不存在
使得
成立；

当
时，
，

∵
，∴
，又
，∴
在
上恒成立，

故
在
上单调递增，∴