双鸭山第一中学高三上学期期中考试数学文试题

考试时间：120分钟 满分：150分

说明：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和班级、考号、座位号等填写在答题卡的侧面相应的空格内。

2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。答案必须写在答题卷上，收卷时只交答题卷。

一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．

1．设集合
，则
=( )

A．
B．
C．
D．

2．已知向量

，

，且
//
，则
等于( )

A．
B．2 C．
D．

3．“数列
为常数列”是“数列
既是等差数列又是等比数列”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知角
的顶点为坐标原点，始边为
轴的非负半轴，若
是角
终边上的一点，且
，则
的值为( )

A．
B．
C．
或
D．
或

5．如图，正四棱柱
中，
，

则异面直线
与
所成角的余弦值为( )

A．
B．
C．
D．

6．已知直角梯形的上底和下底长分别为
和
，较短腰长为
，若以较长的底为旋转轴将该梯形旋转一周，则该旋转体的体积为( )

A．
B．
C．
D．

7．各项均为正数的等比数列
中，若
，则
( )

A．8 B．10 C．12 D．

8．已知函数
，则( )

A．函数
的周期为
B．函数
在区间
上单调递增

C．函数
的图象关于直线
对称 D．函数
的图象关于点
对称

9．已知直线
，平面
，且
，
，给出下列四个命题：

①若
∥
，则
；②若
，则
∥
；

③若
，则
∥
；④若
∥
，则
．

其中真命题的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

10．等比数列{an}中，a1 =1，公比q=2，则数列{an2}的前4项和为S4 =（ ）

A．85 B．225 C．15 D．7225

11．函数
的递减区间为 （ ）

A.
B.
C.
D.

12．已知等差数列
中，
，记数列
的前
项和为
，若
，对任意的
成立，则整数
的最小值为( )

A．5 B．4 C．3 D．2

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．已知数列
是等差数列，
，则首项
．

14.已知
，则
的值是 .

15. 函数

的值域为 .

16．函数
在区间
上为增函数，则
的取值范围是 __________．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（10分）设两向量
满足
，
、
的夹角为
，

(1）试求

(2)若向量
与向量
的夹角余弦值为非负值，求实数
的取值范围．

18.（12分）

已知函数
的最大值是1，其图像经过点
。

求
的解析式；

已知
，且
求
的值。

19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知 a=2bsinA，
．

（1）求B的值；

（2）若△ABC的面积为
，求a，b的值．

20．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设
是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn．

21．（12分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中点．

（1）求证：AC⊥B1C；

（2）求证：AC1∥平面B1CD；

22.(12分)已知中心在原点的双曲线
的一个焦点是
，一条渐近线的方程是
。

（1）求双曲线
的方程；

（2）若以
为斜率的直线
与双曲线
相交于两个不同的点
，且线段
的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
，求
的取值范围。

双鸭山第一中学高一第一学期期中考试

数学试题（文）

参考答案：

1-5 BABAD 6-10 CBCBA 11-12 DB

13.-3 14.
15.
16.

17.【答案】（1）由题意知

=

(2)

因为它们的夹角余弦值为非负值

所以
。

18. （1）依题意有
,则

将点

，

而

故

（2）依题意有
，而

19.

解：（1）∵a=2bsinA，

由正弦定理可得，sinA=2sinBsinA?
，

∴B=30°或150°，∵c＞b，∴C＞B

所以B=30°

（2）由余弦定理可得，b2=a2+c2﹣2accos30°

解得2b2﹣3ab+a2=0?a=b或a=2b…①

又

…②
…③

由①②③
或





20.

解：（Ⅰ）依题意得

解得
，

∴an=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，

即an=2n+1．

（Ⅱ）
，

bn=an?3n﹣1=（2n+1）?3n﹣1

Tn=3+5?3+7?32+…+（2n+1）?3n﹣13Tn=3?3+5?32+7?33+…+（2n﹣1）?3n﹣1+（2n+1）?3n

﹣2Tn=3+2?3+2?32+…+2?3n﹣1﹣（2n+1）3n

∴Tn=n?3n．





21.证明：（Ⅰ）在△ABC中，因为 AB=5，AC=4，BC=3，

所以 AC⊥BC．

因为 直三棱柱ABC-A1B1C1，所以 C C1⊥AC．

因为 BC∩AC =C， 所以 AC⊥平面B B1C1C．

所以 AC⊥B1C．

（Ⅱ）连结BC1，交B1C于E．

因为 直三棱柱ABC-A1B1C1，

所以 侧面B B1C1C为矩形，且E为B1C中点．

又D是AB中点，所以 DE为△ABC1的中位线， 所以 DE// AC1．

因为 DE
平面B1CD， AC1
平面B1CD，

所以 AC1∥平面B1CD．

22.解：（1）设双曲线
的方程为
，

由题设得
解得
，

所以双曲线
的方程为
；

（2）解：设直线
的方程为
，点
，
的坐标满足方程组
，将①式代入②式，得
，

整理得
，

此方程有两个不等实根，于是
，

且
，

整理得
......③

由根与系数的关系可知线段
的中点坐标
满足
，
，

从而线段
的垂直平分线的方程为
，

此直线与
轴，
轴的交点坐标分别为
，
，

由题设可得
，整理得
，
，

将上式代入③式得
，

整理得
，
，解得
或
，

所以
的取值范围是
。